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一个国际数学奥林匹克竞赛题,90%的学生获得0分,到底难在哪?

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反帕斯卡金字塔是一个有限的数字集,放在一个三角形的数组中,使数组的第一行包含一个数字,第二行包含两个数字,第三行包含三个数字,以此类推;除了最下面一行的数字,每个数字等于它下面两个数字之差的绝对值。例如,下面的三角形是一个有四行的反帕斯卡尔金字塔。

是否有可能形成一个具有2018行的反帕斯卡三角形,使用从1到(1 + 2 + 3 +…+ 2018)中的每个整数恰好一次?

你可能需要多读几遍才能明白题意。但就数学问题而言,要理解这个问题是比较容易的。但求解这个问题就不那么容易了。

当我第一次读到这个问题时,我被它的简单性所吸引。所以我试着求解了一下:

  • 我认识到为什么一个有n行的等边三角形数组必须包含1+2+3+...+n个数字。
  • 我还想出了其他满足条件的4行反帕斯卡金字塔。
  • 我试图找到一个有5行的反帕斯卡金字塔,但失败了。
  • 我意识到到最大的数字必须在三角形的最下面一行。
  • 一旦三角形中的一行被固定下来,它上面的所有行也会被固定下来。

我花了几个小时来思考这个问题。我的直觉是,不存在有2018行的满足条件的反帕斯卡金字塔数组。但我没能证明这一点,也不明白为什么。

在2018年国际数学竞赛中,有11名学生(594人中)确实在这个问题上得了满分,其中一个是来自澳大利亚,叫Ethan Tan。下面的解是基于我从Ethan Tan那里学到的。

这个问题问的是这样一个三角形是否存在。如果它确实存在,我们需要说明如何构造它。如果它不存在,我们需要证明它是不可能的。

通过试错法,你可以想出其他满足条件的4行的反帕斯卡尔金字塔。下面的是其中之一。

我强调了底排的10,因为它实际上很重要,三角形中最大的数字必须在最底排。

下一个重要的见解是关于最小的数字的位置,在这里是1、2、3和4。因为10=1+2+3+4 ,4以下的数字必须放在这样的位置上,使它们各自对底部的10之和有贡献。

让我们看另一个例子来更清楚地说明这一点。

这是一个满足条件的有5行的反帕斯卡尔金字塔。再次注意,最大的数字15在底排,而小数字1、2、3、4和5(粉色显示)的摆放方式,使它们对15的总和有贡献。更具体地说,它们必须被放置在 "通往15的路径"(黄色显示)上或与之相邻,该路径从三角形的顶部开始,向左或向右斜着走到底行的最大数字15。

知道了关于小数的位置,三角形的其他区域就不能包含任何小数。这是证明具有2018行的满足条件的反帕斯卡尔金字塔不可能存在的关键。

现在让我们把它考虑2018行的反帕斯卡三角形。让我们假设满足条件的三角形中最大的数字是M = 1 + 2 + 3 + ... + 2018。

我们将把M放在底层某处,并画一个图,强调 "通往M的路径",它必须被1到2018的所有数字所包围。

在上图中,"通往M的路径 "再次用黄色强调。小数字,在这里是指2018年之前的任何数字,在黄色路径旁边,这没有标识出来。

因为数字M必须位于底排中心的左边或右边,我们可以在右下角或左下角找到一个三角形(上图左下角),其数字必须都是2019或更大。这个三角形必须至少有1008行,所以它的最小可能之和是:

  • S = 2019 + 2020 + 2021 + ... + (2019 + 1007)

但是我们假设的三角形中的最大数字是:

  • M = 1 + 2 + 3 + ... + 2018

那么我们可以利用我们的高中数学知识,即:

  • 1+2+3+...+n=n×(n+1)÷2

来证明S>M。

但是三角形不可能包含一个大于其最大值M的数字。

所以,假设的有2018行的反帕斯卡尔金字塔不可能存在。

数学是美丽的。对我来说,这个问题的魅力来自于它既非常困难又非常简单的事实。从一个稍微不同的角度看问题的能力使一切都变得不同。

大多数新发现都是突然看到的一直存在的东西。一个新的想法是一束光,照亮了那些在光照到它们之前根本没有形式的存在——苏珊-朗格
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