一道初中数学竞赛题：求a^5+b^5的值，难住不少学生，学霸：送分题

大家好，今天和大家分享一道初中数学竞赛题：已知a²-a-1=0，b²-b-1=0，且a≠b，求a^5+b^5的值。不少初中学生看到这道题都感觉头痛，不过学霸看到后却说是送分题，下面我们一起来看一下这道题。

一元二次方程是初中数学非常重要的知识点，可以说是贯穿了整个中学数学的学习当中。比如后期学习的二次函数、一元二次不等式等都会用到一元二次方程的相关知识，而且在中考中一元二次方程也是一个必考点。这道题究竟该怎么做呢？为什么会有不少学生被难住？

此题是一元二次方程的简单应用，一些同学看到这道题的第一想法就是先解出a、b的值，然后再代入所求式子中。这个方法不是说不行，但是计算量太大(如下图)。首先a、b都带有根号，不好计算；其次a、b都有两个值，需要分类讨论，计算量大。相信一般人算了几步就不想算了，被难住的学生也是被卡在这儿了。

不过这道题倒让我想起了一道日本的初中数学竞赛题。题目是：已知a²+5a+25=0，求a³的值。

有人也是想先解出a的值，然后代入。但是求解a的值时会发现原来的方程没有实数根，也就是在实数范围内解不出a，那么应该怎么办呢？其实也很简单，那就是用到了初中数学一个重要的思想：整体代入。也就是将a²作为一个整体代入到a³中，然后计算即可得到答案(如下图)。

再回到开始的这道题，我们也可以将a²和b²分别作为一个整体代入到所求式子中。原式次数比较高，我们需要几次代换以达到降幂的目的，最终可以化简为5(a+b)+6。化简到这一步，只需要求出a+b的值即可。

求a+b的值又涉及到了初中一元二次方程的一个常见的考法。

因为a²-a-1=0，b²-b-1=0，所以a、b就是方程x²-x-1=0的两个根，那么根据韦达定理就可以得到a+b=1，再代入化简后的式子即可得到答案(详细过程见下图)。

其实这道题的难度真的不算大，主要以一元二次方程为载体考查了整体代入的思想和韦达定理。这些知识都是中学包括初中和高中数学的常考知识点，中学生一定要掌握，而且需要能够非常熟练的运用。只要掌握了这两个知识点，此题就是一道送分题。

这道初中数学竞赛题，不少学生觉得很难，学霸却说是送分题。你觉得难吗？