此题是圆的综合题，难度不大但很典型，圆周角性质是解题关键

各位家长和同学，大家好！今天，数学视窗（数学世界）开始给大家分析讲解初中数学几何题，这道题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE=6，连接DB，∠B=30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：EM是⊙O的切线；

（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）首先连接OE，由弦DE垂直半径OA，根据垂径定理可得出OA垂直平分弦DE，以及弧AD与弧AE相等，求得CE的长。再根据圆周角求出相关角度，进一步得到OC与OE的关系，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEC=30°，通过勾股定理，即可求得⊙O的半径；

（2）根据平行线的性质求出∠M，再根据直角三角形的性质得到∠MEO=90°，即可证得EM是⊙O的切线；

（3）由∠APD=45°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S阴影=S扇形EOF-S△EOF，即可求得阴影部分的面积．

解答：（以下的过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）连结OE，（连半径）

∵DE垂直OA，

∴CE=1/2DE=3，弧AD＝弧AE，

∵∠B=30°，

（等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，）

∴∠AOE=2∠B=60°，

∴∠CEO=30°，OC=1/2OE，

由勾股定理得

OC^2+CE^2=OE^2,

即（1/2OE）^2+9=OE^2,

∴OE=2√3，

即⊙O的半径是2√3；

（2）∵EM∥BD，（平行线的性质）

∴∠M=∠B=30°，

∵∠M+∠AOE=30°+60°=90°，

∴∠OEM=90°，即OE⊥ME，

∴EM是⊙O的切线；

（3）连结OF，

∵∠APD=45°，OA⊥DE，

∴∠EDF=45°，（直角三角形的性质）

∴∠EOF=90°，

（同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半）

∵S阴影=S扇形EOF-S△EOF，

∴S阴影=1/4π（2√3）^2-1/2（2√3）^2

=3π-6，

即图中阴影部分的面积是3π-6.

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，有一定难度，综合性很强，考查了垂径定理，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识。解题的关键是注意数形结合思想的应用，以及辅助线的作法。