圆的根轴方程与共轴圆系

本文前言：需要的知识：基本的几何知识（圆，直线），定比分点公式（up的开始几篇专栏有涉及）。文中用希腊字母表示参数，其他的按照一般习惯（书本，教材）来定，具体看文中的表达。文章中若有一些问题，请务必联系up。（已学习过圆的方程的同学可直接跳到切线长公式推导部分）

❶圆的标准方程与一般方程

圆的定义是什么？在平面内，到一定点的距离为定长的点的集合。我们用坐标系来描述圆：在平面直角坐标系中，到一定点P（a,b）的距离为r的动点（x，y）的集合{（x，y）|（x-a）^2+（y-b）^2＝r^2}。这是标准方程，可以看出圆心P，半径r。进而可以推导一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F＝0（Δ＝D^2+E^2-4F≧0为圆或点，如果Δ＜0为虚圆），圆心（-D/2，-F/2），r＝½·√（D^2+E^2-4F）。

圆的标准方程与一般方程

❷圆的切线长方程

圆的切线，垂直于过切点的半径，与圆只有一个公共点。反过来说，过圆外一点可以引出圆的两条切线，该点到两个切点的距离相等。根据以上内容，可以推导切线长方程。

可以看出，圆的一般方程是切线长方程的一种情况。切线长方程可以判断点与圆的关系。切线长方程是推导根轴方程的基础。

切线长方程

❸圆的根轴方程推导与共轴圆系

圆的根轴方程：在平面直角坐标系中，对于两个圆（不同圆心），有动点到两圆的切线长相等，则该动点的集合为一条直线，称为这两个圆的根轴：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）＝0。推导过程如下：

推导过程

接下来看看共轴圆系。

共轴圆系，可以从字面上理解是共用一个根轴的圆系。共轴圆系方程：x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（x^2+y^2+D2x+E2y+F2）＝0（该方程中，λ≠-1，表达为共轴圆系；λ＝-1，表达为根轴方程；该方程不可表示括号内方程表示的圆）

橙色圆

❸附，两圆与根轴的图像

两圆有五个情况：外离，外切，相交，内切，内离。根轴可作为相切的切线，相交的公共弦所在直线，外离等圆的中垂线。各个情况如下：

相交

相离

外切

内切

内含

❹根轴的各样性质定理

⒈根轴与两圆心所在直线垂直。

证明过程

⒉共轴圆系的圆心坐标的定比分点公式（圆心共线）

证明过程

⒊根心定理：三个圆心不共线的三圆，两圆一根轴，三个根轴共点，交点为根心。

证明过程（根心定理）