求四边形的面积，很多学生无法动笔，关键是推出三角形面积之比

各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”继续给大家分析和讲解初中数学中的几何题，这道题非常简短，具有一定的难度，考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积的应用等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积是多少平方厘米？

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

此题中的条件很少，必须充分利用两个中点，作出辅助线构造相似三角形。延长CE交DA的延长线于M，根据相似三角形的性质得出CF/DM=FH/HD=1/4，BE/DC=BG/GD=1/2，求出△BEC和△DFC的面积，根据“等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比”以及三角形的面积公式，求出△BGE和△CFH的面积，将图形面积相减即可求出四边形BGHF的面积．

解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

延长CE交DA的延长线于M，

∵四边形ABCD是正方形，

（正方形的性质）

∴AB=CD=BC，AD∥CB，∠MAB=∠ABC=90°，AB∥CD，

∵E为AB中点，F为BC中点，

∴AE=BE，BF=CF=1/2BC，

∵在△MAE和△CBE中，

∠MAE＝∠CBE，

AE＝BE，

∠AEM＝∠CEB，

∴△MAE≌△CBE，

∴MA=BC=AD，

∵MD∥BC，

∴∠M＝∠FCH，∠MDH＝∠CFH，

∴△CFH∽△MDH，

∴CF/DM=FH/HD，

∴FH/HD=1/4，（等量代换）

∵AB∥CD，

∴∠GBE＝∠GDC，∠GEB＝∠GCD，

∴△BGE∞△DGC，

∴BE/DC=BG/GD=EG/CG=1/2，

根据E是AB的中点，F是BC的中点，以及三角形的面积公式，

S△BCD=1/2S正方形ABCD

=1/2×120=60（平方厘米），

S△BCE=S△DCF=1/4×120=30（平方厘米），

∵EG/CG=1/2，

（等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比）

∴S△BGE/S△CGB=EG/CG=1/2，

∴S△BGE=1/3S△BEC=10平方厘米，

∵FH/HD=1/4，

∴S△CFH/S△CHD=FH/HD=1/4，

∴S△CFH=1/5S△DCF=6平方厘米，

∴四边形BGHF的面积是

S△CBE-S△BGE-S△CFH=30-10-6=14（平方厘米）

答：四边形BGHF的面积是14平方厘米．

（完毕）

这道题考查了正方形性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积的计算等知识，灵活运用“等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比”是解题的关键。