趣题：估算小数点后第三位

下面这道题来自今年的Virginia Tech Rigeonal数学比赛（不知道该咋翻好）。比赛时间为两个半小时，一共有7道题，这是第5题：

找出下面这个数小数点后第三位上的数字：(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))

这个问题有趣的地方就是，你真的可以用一个简单的办法估算出答案来。为什么不先试试看？

我们需要求出(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))小数点后第三位上的数。首先，(1+√2)^(-1)就等于(√2-1)，而二项式展开后你会发现(√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n)总是一个整数（根号2的奇数次幂总是一正一负抵消）。同样地，((√5 + 2)^(2n) + (√5 – 2)^(2n)) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))也是一个整数，于是(√5 + 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))和(√5 – 2)^(2n) * ((√2 + 1)^(2n) + (√2 – 1)^(2n))的小数部分是互补的（相加为1），我们可以依据后面这个数的小数部分来确定前面这个数（也即题目要求的数）的小数部分。而当n较大时，后面这个数很可能会变得非常小。事实上，当n=50时，

(√5 – 2)^100 * ((√2 + 1)^100 + (√2 – 1)^100)

< (√5 – 2)^100 * 2((√2 + 1)^100)

< (1/4)^100 * 2((5/2)^100)

= 2(5/8)^100

可以断定，这是一个非常非常小的数，小数点后面紧跟着的0至少有10个。这足以说明，题目里那个数的小数点后面十几位全部是9。事实上，

(2+√5)^100 * ((1+√2)^100 + (1+√2)^(-100))

= 94158733601034420664808450657998303298219601745567527892456021922994

873597395955752869490271254871747.9999999999999999999999996186915243

507242961564029332966750212181162222265977213142686546252118999….

小数点后一共有24个9。

本文来源：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/PowersOf10.shtml