趣题：阿米巴的生存

在每一代的繁殖中，单个的阿米巴原虫有3/4的概率分裂成两个，有1/4的概率死亡（而不产生下一代）。初始时只有一个阿米巴原虫，求阿米巴原虫会无限繁殖下去的概率。

答案在下面。

解答：令p为单个阿米巴原虫分裂的概率（题目中等于3/4），令P为我们要求的概率（无限繁殖的概率）。

初始时的那个阿米巴原虫有p的概率分裂为两个，至少有一个可以无限生存下去的概率为1-(1-P)^2。那么，我们得到式子：

P = p*( 1 – (1-P)^2 )

化简后得到：

p*P^2 + (1 – 2p)P = 0

或者写成：

P * ( pP + ( 1-2p ) ) = 0

由于P≠0，因此pP+(1-2p) = 0，即P = (2p-1)/p

可以看到，如果一个阿米巴原虫分裂的概率没超过1/2，那么它不可能永远生存下去无限生存下去的概率为0。在我们的题目中，p=3/4，因此阿米巴原虫无限繁殖的概率为2/3。