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竞赛题求面积最大值,几乎没人做对,关键是数形结合与参数方程

时间:07-04来源:作者:点击数:

各位朋友,大家好!“数学视窗”给大家分享一道求三角形面积最大值的数学竞赛题,这道题目比较简短,条件也很少,要求的是图形面积的最大值,题目具有较大的难度。很多人看到此题后,根本无从动手,所以要弄清所给出的条件对于解题有什么作用。此题考查了等高三角形的面积之比的问题,等积变换的知识,以及数形结合与方程思想的应用等。下面,我们就一起来看这道例题吧!

例题:(初中数学竞赛题)如图,已知△ABC,且S△ABC=1,D、E分别是AB、AC上的动点,BD与CE相交于点P,使S四边形BCDE=16/9 S△BPC,求S△DEP的最大值.

分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路:由于此题图中有动点,并且没有给出任何线段的长度,所以可以考虑采取使用参数的方法.

设S△BPC=9k,S△BPE=ak,S△DPC=bk,S△AED=x,然后根据图中各三角形面积之间的关系,可以求得S△DEP的表达式,又由S△DEP=S四边形BCDE-S△BPC-S△EBP-S△DPC,即可得到关于参数的方程,再由a+b≥2√ab(a和b都在根号里面),即可求得S△DEP的值最大值,则可求得答案.

解答:(以下的过程仅供参考,部分过程进行了精简,并且可能还有其他不同的解题方法)

设S△BPC=9k(为了计算方便),S△BPE=ak,S△DPC=bk,S△AED=x,

∵S四边形BCDE=16/9 S△BPC,

∴S四边形BCDE=16k,

∵S△BPE/S△DPE=BP/PD=S△BPC/S△DPC=9k/bk=9/b,

(以上根据等高三角形的面积之比等于底之比)

∴S△DEP=abk/9,(代入数据变形得到)

∵S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC

=16k-9k-ak-bk,

∴ab/9=7-a-b,

∵a+b≥2√ab(a和b都在根号里面),

(以上根据完全平方式的非负性)

∴ab/9≤7-2√ab,

∴ab+18√ab -63≤0,

(将左边分解因式)

∴(√ab +21)(√ab -3)≤0,

∵√ab≥0,

∴0≤√ab≤3,

∴仅当a=b=3时,√ab =3,

此时S△DEP的最大值为k,

∵S△ADE/S△CDE=AD/CD=S△ABD/S△BDC,

∴x/4k=(x+4k)/12k①,

又∵S△ABC=1,

∴x+16k=1②,

由①②得:k=1/18,

∴S△DEP最大值为1/18.

(完毕)

这道题考查了等高三角形的面积之比的问题,等积变换的知识,以及数形结合与方程思想的应用,此题难度比较大,解答本题的关键是灵活运用等高的三角形面积的比等于对应底的比,以及a+b≥2√ab(a和b都在根号里面)性质的应用。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

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