概率分布

在概率和统计学中，分布是随机变量的特征，描述了随机变量在每个值处的概率。

每个分布都有一定的概率密度函数和概率分布函数。

尽管存在无限数量的概率分布，但实际使用中有几种常见的分布。

概率分布由累积分布函数 F(x) 描述，

它是随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率：

F(x) = P(X ≤ x)

累积分布函数 F(x) 通过对连续随机变量 X 的概率密度函数 f(u) 积分计算。

累积分布函数 F(x) 通过对离散随机变量 X 的概率质量函数 P(u) 求和计算。

连续分布是连续随机变量的分布。

...

分布名称	分布符号	概率密度函数 (pdf)	均值	方差
		f_X(x)	μ = E(X)	σ² = Var(X)
正态 / 高斯分布	X ~ N(μ,σ²)	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	μ	σ²
均匀分布	X ~ U(a,b)	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,otherwise\end{matrix}$		$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	X ~ exp(λ)	$\begin{Bmatrix}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrix}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Gamma分布	X ~ gamma(c, λ)	$\frac{\lambda ^c x^{c-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (c)}$ x > 0, c > 0, λ > 0	$\frac{c}{\lambda }$	$\frac{c}{\lambda ^2}$
卡方分布	X ~ χ²(k)	$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}$	k	2k
Wishart分布
F分布	X ~ F (k₁, k₂)
Beta分布
Weibull分布
对数正态分布	X ~ LN(μ,σ²)
Rayleigh分布
Cauchy分布
Dirichlet分布
Laplace分布
Levy分布
Rice分布
学生t分布

离散分布是离散随机变量的分布。

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分布名称	分布符号	概率质量函数 (pmf)		均值	方差
		f_x(k) = P(X=k) k = 0,1,2,...		E(x)	Var(x)
二项分布	X ~ Bin(n,p)	$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$		np	np(1-p)
泊松分布	X ~ Poisson(λ)		λ ≥ 0	λ	λ
均匀分布	X ~ U(a,b)	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,otherwise\end{matrix}$		$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}$
几何分布	X ~ Geom(p)	$p(1-p)^{k}$		$\frac{1-p}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超几何分布	X ~ HG(N,K,n)		N = 0,1,2,... K = 0,1,..,N n = 0,1,...,N	$\frac{nK}{N}$	$\frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)}$
伯努利分布	X ~ Bern(p)	$\begin{Bmatrix}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,otherwise\end{matrix}$		p	p(1-p)

另见