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高中物理模型人船模型解析

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1、人船问题:

人船系统在相互作用下各自运动,运动过程中该系统所受到的合外力为零,即人和船组成的系统在运动过程中动量守恒。

2、两类问题

第一类:直线运动的人船模型

如图,质量为M的船停在静止的水面上,船长为L,一质量为m的人,由船头走到船尾,若不计水的阻力,则整个过程人和船相对于水面移动的距离?

图片

设人在运动过程中,人和船相对于水面的速度分别为图片图片

由动量守恒定律得:图片

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度图片图片均满足上述关系

图片
图片
图片

可得:

图片
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第二类:曲线运动的人船模型

如图所示,小球质量为m,轨道质量为M,半径为R,将m静止释放,不计阻力,分析结论.

图片

运动到最低点,水平方向上动量守恒

动量守恒:mvm=MvM

移动距离:mvmt=MvMtmxm=MxM

位移之和:xm+xM=R

联立解得:xm=图片RxM=图片R

运动到另外一端最高点,水平方向上动量守恒

动量守恒:mvm=MvM

移动距离:mvmt=MvMtmxm=MxM

位移之和:xm+xM=2R

联立解得:图片

例1、气球质量200kg截有质量为50kg的人,静止在空中距地面20m高的地方,气球下悬一质量不计的绳子,此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面,为安全到达地面,则这根绳至少多长?

图片

解:人与气球组成的系统竖直方向动量守恒

由动量守恒得:m1v1﹣m2v2=0

即:m1图片﹣m2图片=0

绳子长度:L=s气球+s

解得:L=25m

例2、如图所示,质量分别为m1和m2(m1>m2)的两个人分别站在静止于光滑水平面上的质量为M的小车的两端,小车长为L,当两人交换位置时,车将向哪个方向移动?移动多大距离?

图片

解:设当两人交换位置时,车将向右移动的距离为x。

则在此过程中,质量m1的人相对于地的位移为x+L

质量m2的人相对于地的位移为L﹣x

由动量守恒定律和速度公式得:

0=M图片+m1图片﹣m2图片

解得x=﹣图片L

因为m1>m2,所以x<0,说明小车向左移动

答:当两人交换位置时,车将向左移动,移动距离为图片L。

练习

1.有一条捕鱼小船停靠在湖边码头,小船又窄又长(估计一吨左右)。一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量。他进行了如下操作:首先将船平行码头自由停泊,轻轻从船尾上船,走到船头后停下来,而后轻轻下船。用卷尺测出船后退的距离为d,然后用卷尺测出船长L,已知他自身的质量为m,则渔船的质量为(  )

A.图片

B.图片

C.图片

D.图片

解:设人走动时船的速度大小为v,人的速度大小为v′,人从船尾走到船头所用时间为t。取船的速度为正方向。

则v=图片,v′=图片

根据动量守恒定律:Mv﹣mv′=0,

则得:M图片=m图片

解得渔船的质量:M=图片

故选:B。

2.如图所示,在光滑的水平面上,有一静止的小车,甲、乙两人分别站在小车左、右两端。当他俩同时相向而行时,发现小车向右运动,下列说法正确的是(  )

图片

A.乙的速度必定小于甲的速度    

B.乙的速度必定大于甲的速度    

C.乙的动量必定小于甲的动量    

D.乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量

解:ABC、甲、乙两人相向而行的过程中,甲、乙两人及小车组成的系统所受的合外力为零,系统动量守恒,根据动量守恒定律得:mv+mv+mv=0,小车向右运动,小车的动量方向向右,说明甲与乙两人的总动量向左,因乙向左运动,甲向右运动,则乙的动量必定大于甲的动量,但是由于不知两人的质量关系,故无法确定两人的速度大小关系,也不能确定两人动能大小关系,故ABC错误;

D、对小车分析可知,小车向右运动,由动量定理可知,小车受外力的冲量向右,人在行走时对小车的冲量与人的运动方向相反,则说明乙对小车的冲量大于甲对小车的冲量,故D正确。

故选:D。

3.如图所示,一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上,斜面体质量为M,顶端高度为h,今有一质量为m的物体(M>m,且物体可以看做质点),沿光滑斜面下滑,当物体从斜面顶端自由下滑到底端时,斜面体在水平面上移动的距离是(  )

图片

A.图片

B.图片

C.图片

D.图片

解:物体与斜面在水平方向上动量守恒,设物块的速度方向为正方向,则有:

mv1﹣Mv2=0

运动时间相等,则有:

ms1﹣Ms2=0

由题意可知,s1+s2图片

联立解得:斜面体在水平面上移动的距离s2图片.故C正确,ABD错误。

故选:C。

4.光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为α的斜面体A,斜面体质量为M,底边长为L,如图所示。将一质量为m可视为质点的滑块B从斜面的顶端由静止释放,滑块B经过时间t刚好滑到斜面底端。则下列说法中正确的是(  )

图片

A.此过程中斜面体向左滑动的距离为图片L     

B.滑块下滑过程中支持力对B不做功        

C.滑块B下滑过程中A、B组成的系统动量守恒     

D.滑块下滑的过程中支持力对B的冲量大小mgtcosα

解:A、滑块与斜面体组成的系统在水平方向动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律得:

mv﹣MV=0

m图片﹣M图片=0

解得滑块下滑过程斜面体向左滑动的距离为:x=图片,故A正确;

B、滑块下滑过程斜面体对滑块的支持力方向与滑块的位移方向不垂直,支持力对滑块B做功,故B错误;

C、滑块B下滑过程中A、B组成的系统在水平方向动量守恒,由于系统在竖直方向所受合外力不为零,系统所受合外力不为零,系统动量不守恒,故C错误;

D、滑块下滑过程处于失重状态,斜面体对滑块B的支持力小于mgcosα,支持力对B的冲量大小小于mgtcosα,故D错误。

故选:A。

5.如图所示,光滑水平面上有两个相同的光滑弧形槽,左侧弧形槽静止但不固定,右侧弧形槽固定,两个弧形槽底部均与水平面平滑连接。一个小球从左侧槽距水平面高h处自由下滑,已知小球质量为m,弧形槽质量均为2m,下列说法正确的是(  )

图片

A.小球从左侧弧形槽下滑过程中,小球和槽组成的系统动量守恒        

B.小球从左侧弧形槽下滑过程中,小球和槽组成的系统机械能守恒    

C.小球滑上右侧弧形槽后,上升的最大高度为h     

D.小球第二次滑上左侧弧形槽,上升的最大高度为h

解:A、槽和地面接触面光滑,则小球从左侧槽下滑过程中,小球和槽组成的系统水平方向所受合外力为零,则水平方向上动量守恒,故A错误;

B、从左侧槽下滑过程中,小球和槽组成的系统接触面光滑,无机械能损失,机械能守恒,故B正确;

C、球下滑到底端时由动量守恒可知mv1=2mv2,由机械能守恒可得mgh=图片mv12+图片,小球滑上右侧弧形槽后,上升的最大高度为h′,由机械能守恒定律可得,mgh′=图片mv12,可得h′<h,故C错误;

D、小球第二次滑上左侧弧形槽,滑上最大高度时,小球和左侧弧形槽共速,具有动能,小球重力势能小于初态重力势能,上升的高度最大小于h,故D错误。

故选:B。

6.如图所示,将一质量为2m、半径为R的半圆形槽置于光滑水平面上,现让一质量为m的小球从A点正上方h处静止释放,经最低点后能从右端最高点冲出,不计空气阻力,则下列说法正确的是(  )

图片

A.小球与槽组成的系统动量守恒        

B.小球离开槽后做斜上抛运动    

C.小球从右端上升的高度等于h 

D.槽向左运动最大距离为图片R

解:A、系统水平方向不受力,所以小球与槽组成的系统水平方向动量守恒,竖直方向动量不守恒,即小球与槽组成的系统动量不守恒,故A错误;

B、系统水平方向动量守恒且系统水平方向的总动量为零,所以当小球离开槽时只具有竖直方向速度,做竖直上抛运动,故B错误;

C、小球离开槽时,小球具有竖直向上的速度,此时槽的速度为零,则由机械能守恒定律可知,小球上升高度等于h,故C正确;

D、设槽向左的最大距离为x,系统水平方向动量守恒,以向右为正方向,有:m图片﹣2m图片=0

解得:x=图片R,故D错误。

故选:C。

7.如图所示,AB为一光滑水平横杆,杆上套一质量为M的小圆环,环上系一长为L质量不计的细绳,绳的另一端拴一质量为m的小球,现将绳拉直,且与AB平行,由静止释放小球,则:

(1)当线绳与AB成θ角时,圆环移动的距离是多少?

(2)求小球运动到最低点时的速度大小.

图片

解:(1)虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零(杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等),系统动量不守恒,但是系统在水平方向不受外力,因而水平动量守恒.设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v,圆环的水平速度为V,取水平向右为正方向,由水平动量守恒有:

MV﹣mv=0

且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系,加之时间相同,公式中的V和v可分别用其水平位移替代,则上式可写为:

Md﹣m[(L﹣Lcosθ)﹣d]=0

解得圆环移动的距离:d=图片

(2)设小球运动到最低点时,圆环和小球的速度大小分别为v1和v2.根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得:

0=Mv1+mv2

mgL=图片Mv12+图片mv22

联立解得:v2图片

答:(1)当线绳与AB成θ角时,圆环移动的距离是图片

(2)小球运动到最低点时的速度大小是图片

8.质量为M的小车静止在光滑的水平面上,小车的上表面是一光滑的曲面,末端是水平的,如图所示,小车被挡板P挡住,质量为m的物体从距地面高H处自由下落,然后沿光滑的曲面继续下滑,物体落地点与小车右端距离s0,若撤去挡板P,物体仍从原处自由落下,求物体落地时落地点与小车右端距离是多少?

图片

解:小车被挡板P挡住时,设小球滑离小车时的速度v1,车尾部(右端)离地面高为h。小球从最高点下落至滑离小车时机械能守恒,则有:

mg(H﹣h)=图片mv12…①

由平抛运动的规律得:

s0=v1t…②

h=图片gt2…③

联立解得:s0图片

设去掉挡板P时小球离开小车时速度为v2,小车速度为v′2,小球从最高点至离开小车之时系统的机械能守恒,有:

 mg(H﹣h)=图片mv22+图片Mv′22…④

小球与小车相互作用过程中水平方向动量守恒,取水平向左为正方向,则得Mv′2﹣mv2=0…⑤

得v2图片v1,v′2图片v1

小球离开车后对地平抛运动,则有:

s2=v2t′…⑥

h=图片gt′2…⑦

车在t′时间内向前的位移为:

s′2=v′2t′…⑧

此种情况下落地点距车右端的距离为:

s=s2+s′2图片v1t+图片v1t=(1+图片)s0图片=s0图片…⑨

答:物体落地时落地点于小车右端距离是s0图片

9.如图所示,一工件置于水平地面上,其AB段为一半径R=0.5m的光滑四分之一圆弧轨道,BC段为一长度L=0.5m的粗糙水平轨道,二者相切于B点,整个轨道位于同一竖直平面内,P点为圆弧轨道﹣上的一个确定点,一可视为质点的物块,其质量m=0.2kg,与BC间的动摩擦因数μ=0.4;工件质量M=0.8kg,与地面间的摩擦不计。(g=10m/s2

(1)若工件固定,将物块由P点无初速度释放,滑至C点时恰好静止,求P、C两点间的高度差;

(2)如果不固定工件,将物块由P点无初速度释放,求滑至静止时工件运动的位移。

图片

解:(1)物块从P点下滑经B点至C点的整个过程,根据动能定理得:

mgh﹣pmgL=0

代入数据得:h=0.2m;

(2)由几何知识可知P点到B点的水平距离为L1=0.4m,设在BC段物块相对于工件的位移为x,根据动能定理有:

mgh﹣μmgx=0

解得:x=0.5m

在物块与工件相对运动的过程中,设物块向左的位移大小为x1,工件向右的位移为x2

则x1+x2=x+L1=0.9m

因为工件和物块组成的系统在水平方向上不受力,所以系统在水平方向上动量守恒

即:mx1﹣Mx2=0

图片

可得x2=0.18m,方向向右。

答:(1)若工件固定,将物块由P点无初速度释放,滑至C点时恰好静止,P、C两点间的高度差为0.2m;

(2)如果不固定工件,将物块由P点无初速度释放,滑至静止时工件运动的位移为0.18m,方向向右。

10.平静的水面上漂浮着一块质量为M=250g的带有支架的木板,木板左边的支架上蹲着一只质量为m=50g的青蛙。支架高h=20cm,支架右方的水平木板长S=30cm。青蛙水平向右跳出,为了直接跳到水中,它跳出的初速度v0至少是多大?(水的阻力忽略不计,取g=10m/s2。)

图片

解:青蛙跳出后做平抛运动,竖直方向:h=图片gt2,由题意可知:h=20cm=0.2m,代入数据解得:t=0.2s,

设青蛙的初速度v1,木块获得反冲速度为v2,青蛙跳出过程青蛙与木板组成的系统在水平方向动量守恒,

以向右为正方向,在水平方向,由动量守恒定律得:mv0﹣Mv=0

青蛙跳出后做平抛运动,木板做匀速直线运动,x青蛙=v0t,x木板=vt,

青蛙恰好进入水中,则:s=x青蛙+x木板

M=250g=0.25kg,m=50g=0.05kg,s=30cm=0.3m,

代入数据解得:v0=1.25m/s,v=0.25m/s

答:为了直接跳到水中,它跳出的初速度v0至少是1.25m/s。

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