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高中数学圆锥曲线相交弦

时间:09-16来源:作者:点击数:

圆锥曲线相交弦有三种表现形式,即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。

一、两弦相交成直角

例1.已知椭圆图片与x轴正方向交于点A,若这个椭圆上有点P,使∠OPA=90°(O为原点),求椭圆离心率的范围。

分析:两向量垂直的坐标公式的运用。

解析:设P(图片),则

图片图片

由∠OPA=90°,则图片

图片

所以图片

可得图片

因为图片

所以图片

图片

所以图片

例2.已知直线图片与双曲线图片的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。

分析:用斜率的关系解决两直线垂直。

解析:(1)将直线图片的方程图片代入双曲线C的方程图片后,整理得

图片

依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A、B,

图片

图片

图片

图片

图片

解联立不等式组得k的取值范围为(-2,图片)。

(2)假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则FA⊥FB,

所以图片

图片

图片

代入前式整理得图片

图片代入,化简得

图片

解得图片

图片不合,舍去。

所以图片符合题意。

例3.设点A和B为抛物线图片上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于M,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。

分析:利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化。

解析:依题意,设图片,则

图片

又OA⊥OB,得图片

图片

化简得图片

图片

所以直线AB的方程为

图片

令y=0,并将图片代入得图片,即直线AB与x轴交于定点Q(4p,0)。又OM⊥AB,由平面几何知识得:动点M的轨迹是以线段OQ为直径,以点(2p,0)为圆心的圆,其方程为

图片

二、两相交弦倾斜角互补

例4.过抛物线图片上一定点P(图片,作两条直线分别交抛物线于A(图片)、B(图片)。(1)求该抛物线上纵坐标为图片的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求图片的值,并证明直线AB的斜率是非零常数。

分析:将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数,利用等量关系列式求解。

解析:(1)当图片时,图片。又抛物线图片的准线方程为图片,由抛物线定义得所求距离为

图片

(2)由图片,相减得

图片

图片

同理可得图片

由PA与PB倾斜角互补知图片

所以图片

图片

图片

图片,所以直线AB的斜率是非零常数。

例5.如图1,已知A,B,C是长轴为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且图片图片。(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数图片?请给出证明。

图片

图1

分析:利用斜率互为相反数关系,整体替换,可简化解题过程。

解析:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系,则A(2,0),椭圆方程可设为

图片

而O为椭圆中心,由对称性知

图片

图片,所以AC⊥BC

图片,所以|OC|=|AC|,

所以△AOC为等腰直角三角形,所以点C坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得图片,则椭圆方程为图片

(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,设直线CP的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,直线CP的方程为图片,直线CQ的方程为图片。由椭圆方程与直线CP的方程联立,消去y得

图片

因为C(1,1)在椭圆上,所以x=1是方程①的一个根,于是

图片

同理图片

这样,图片

又B(-1,-1),所以图片

图片

所以PQ∥AB,存在实数图片使图片

三、三弦组成特殊的三角形

例6.已知F是抛物线图片的焦点,P1,P2是抛物线上的两点,且△P1FP2是正三角形,求该三角形的边长。

分析:抓住特殊三角形中的特殊角,再利用三角函数知识来求解。

解析:由于抛物线与正三角形都是轴对称图形,必有图片轴。若设图片,则图片。又△P1FP2是正三角形,所以直线P1F的倾斜角为30°。而F(1,0),则直线P1F的方程是

图片

与抛物线图片联立,消去x得

图片

解得图片

故三角形的边长为图片

例7.在直角三角形ABC中,AB=AC,以点C为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在边AB上,且椭圆过A、B两点。求这个椭圆的离心率。

分析:抓住特殊三角形中的特殊角,再利用三角函数知识来求解。

解析:如图2,设∠AFC=θ

图片

图2

图片

设|FC|=2c,则

图片

所以图片

图片

即离心率图片

而在△BCF中,由正弦定理得

图片

则有图片

图片

所以图片图片

图片,所以图片

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