高中数学圆锥曲线相交弦

圆锥曲线相交弦有三种表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。

一、两弦相交成直角

例1.已知椭圆与x轴正方向交于点A，若这个椭圆上有点P，使∠OPA＝90°（O为原点），求椭圆离心率的范围。

分析：两向量垂直的坐标公式的运用。

解析：设P（），则

，。

由∠OPA＝90°，则

即，

所以，

可得

因为

所以

又，

所以。

例2.已知直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

分析：用斜率的关系解决两直线垂直。

解析：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得

①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A、B，

设；

则

且

且

且

解联立不等式组得k的取值范围为（－2，）。

（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），则FA⊥FB，

所以，

即

又，

代入前式整理得

将代入，化简得

解得。

又不合，舍去。

所以符合题意。

例3.设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

分析：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化。

解析：依题意，设，则

。

又OA⊥OB，得

即

化简得。

而，

所以直线AB的方程为

。

令y＝0，并将代入得，即直线AB与x轴交于定点Q（4p，0）。又OM⊥AB，由平面几何知识得：动点M的轨迹是以线段OQ为直径，以点（2p，0）为圆心的圆，其方程为

二、两相交弦倾斜角互补

例4.过抛物线上一定点P（，作两条直线分别交抛物线于A（）、B（）。（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。

分析：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利用等量关系列式求解。

解析：（1）当时，。又抛物线的准线方程为，由抛物线定义得所求距离为

。

（2）由，相减得

，

故

同理可得

由PA与PB倾斜角互补知，

所以

由，

故。

将，所以直线AB的斜率是非零常数。

例5.如图1，已知A，B，C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数？请给出证明。

图1

分析：利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。

解析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为

。

而O为椭圆中心，由对称性知

又，所以AC⊥BC

又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。

（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为，直线CQ的方程为。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得

①

因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是

同理

这样，

又B（－1，－1），所以，

即。

所以PQ∥AB，存在实数使。

三、三弦组成特殊的三角形

例6.已知F是抛物线的焦点，P₁，P₂是抛物线上的两点，且△P₁FP₂是正三角形，求该三角形的边长。

分析：抓住特殊三角形中的特殊角，再利用三角函数知识来求解。

解析：由于抛物线与正三角形都是轴对称图形，必有轴。若设，则。又△P₁FP₂是正三角形，所以直线P₁F的倾斜角为30°。而F（1，0），则直线P₁F的方程是

与抛物线联立，消去x得

解得。

故三角形的边长为。

例7.在直角三角形ABC中，AB＝AC，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A、B两点。求这个椭圆的离心率。

分析：抓住特殊三角形中的特殊角，再利用三角函数知识来求解。

解析：如图2，设∠AFC＝θ

图2

则

设|FC|＝2c，则

所以

，

即离心率。

而在△BCF中，由正弦定理得

，

则有，

即，

所以

，所以。