最短路径算法

场景

• 给定带权网络G,远点s 对于所有的其他顶点v, s到v的最短通路是多少？该通路由哪些边构成

性质

• 单调性
  • 最短路径树上的任一顶点v到必定是源点s到v的最短路径
• 歧义性
  • 最短路径可能不唯一
• 无环性

和最小支撑树的区别

• 最小支撑树求的是整个拓扑图的所有路径之和最小,不能保证任意两点之间的路径最小应用场景: 快递车将霍送到城市的每一个快递点,不走重复的路而且时间最短
• 最短路径是保证源点到任一一点的路径最短应用场景: 地图寻径，怎么确保可以最短时间到达想要去的地方

代码实现

// 最短路径算法
template <typename Tv, typename Te> struct DijkstraPU{
    // 重载()
    virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* graph, int v int u) {
        // 针对未发现邻接顶点
        if (graph->status(u) != UNDISCOVER) {
            return;
        }

        // 因为只针对两点之间最短，所以此处和父级优先级树和边权重之和比较
        if (graph->priority(u) > graph->priority(v) + graph->weight(v, u)) {
            graph->priority(u) = graph->priority(v) + graph->weight(v, u)
            graph->parent(u) = v;
        }
    }
};

    // 优先级搜索算法
    template <typename PU> void pfs(int v, PU prioUpdater){
        // 重置图状态
        reset();

        // 时间标签
        int clock = 0;
        int s = v;

        // 遍历所有顶点
        do {
            // 所有未发现的顶点执行优先级搜索算法
            if (status(v) == UNDISCOVERED) {
                PFS(v, prioUpdater);
            }

            // 迭代到下一顶点
            v = ++v%n;
        } while (s != v);
    }

    // 连通域 优先级搜索框架
    template <typename PU> void PFS(int v, PU prioUpdater) {
        // 更新顶点优先级,状态
        priority(v) = 0; // 最高优先级
        status(v) = VISITED;

        // 起点s加入遍历树中
        parent(s) = -1;

        // 遍历所有顶点
        while(true) {
            // 更新当前顶点的邻接顶点的优先级数和父级顶点
            for (int w = firstNbr(s); w > -1 ; w = nextNbr(s, w)) {
                prioUpdater(this,s, w);
            }

            // 获取尚未加入遍历树中的所有顶点中优先级数最小的顶点
            int shortest = INT_MAX;
            for (int w =0; w < n ; w++) {
                if (status(w) == UNDISCOVERED && priority(w) < shortest) {
                    shortest = priority(w);
                    s = w;
                }
            }

            // TODO 自定义一些事情

            // 所有顶点都已经遍历过了
            if (status(s) == VISITED) {
                break;
            }

            // 更新当前顶点的状态
            status(s) = VISITED;
            type(parent(s), s) = TREE;
        }
    }