程序员的算法趣题Q35: 0和7的回文数

1. 问题描述

问题：求位于1~50的所有满足以上条件的n。

这道题目是典型的“批着羊皮的狼”，一看似乎很简单，然而陷阱重重的那种。

2解法1—暴力搜索

2.1 解题分析

第一感是，暴力搜索搞一搞就可以了吧。反正我的习惯也是从最傻（naive）的方法着手。。。

算法流程如下：

以上流程之所以成立是因为如上所述“已知对于任意整数n，一定存在n的正整数倍的仅由0和7构成的数”，否则的话，以上流程就有可能陷入无限循环。

实际上仅由0和7构成的数再加上要构成回文数，则必然首尾都是7，因此可以排除掉偶数以及5的倍数，这样可以将搜索范围缩小一半。

[2021-09-21]以上流程其实有缺陷，在最后（也即最内层）的判断后，如果判断不是回文数的话，则该数就不满足题设条件，因此可以跳到下一个n的检测了（即此处应该加一条break语句）

2.2 代码及测试

以上流程虽然简单易懂，然而写出代码一运行，就会让你怀疑人生。如果没有以上一定存在的保证，你会怀疑它是不是陷入了死循环；知道了有一定存在的保证，你就只能怀疑程序是不是写错了。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Sep 20 09:12:48 2021

@author: chenxy
"""

import sys
import time
import datetime
import math
import random
from   typing import List
# from   queue import Queue
from   collections import deque
import itertools as it
from   math import sqrt, floor, ceil
import numpy as np

def palindrome(k:int)->bool:
    k_decstr = str(k)
    return k_decstr == k_decstr[::-1]

# Brute-Force
def check_0_7(k)->bool:
    k_str = str(k)
    return set(k_str) == {'0','7'}
    # return set(k_str).issubset({'0','7'})

ans = []
t1 = time.perf_counter()
ok_dict    = dict()
ng_dict    = dict()
for n in range(1,50,2):    
    if n%5==0:
        continue
    # print(n)        
    m = 1
    while 1: 
        k = m*n
        # print(n,m,k)        
        if check_0_7(k):
            # print(n,m,k)        
            if palindrome(k):
                ok_dict[n] = (m,k)
            else:
                ng_dict[n] = (m,k)
            break
        m += 1
    
tCost = time.perf_counter() - t1      
print('Number of ok_dict = {0}, tCost = {1}'.format(len(ok_dict),tCost))            
for key in ok_dict:
    print('\t',key, ok_dict[key])

2.3 运行结果及分析

单单针对9这个数字，在我的机器上跑了80多秒才跑出来。

仔细思考一下会发现，在以上正向循环中，针对m的遍历中，所得到的k=m*n绝大多数根本就不满足后面的“仅由0和7构成”以及“构成回文数”的条件，换句话说，绝大多数的遍历计算都是无效的。如果换一个方向，先筛选能满足“仅由0和7构成”以及“构成回文数”的条件的数再来判断是否能被n整除的话，就可以避免绝大多数无效的搜索了。

3. 解法2--逆向思考

3.1 解题分析

逆向思考的关键是先按照不同的位数，(1) 构成满足“仅由0和7构成（或仅由7构成）”的条件的数; (2) 用这些数去试能不能被待检查对象n(1~50之间奇数且不能被5整除)整除; (3) 如果能的话，再判断是否回文数，如果是的话，则这个n满足条件是答案之一；否则，这个n不满足条件应被排除。

针对以上流程遍历位数m即可。直到1~50间的数要么被判断满足条件要么不满足条件全部判断完毕就结束。

需要注意的一个坑是：题目要求的是n的倍数中第一个“仅由0和7构成（或仅由7构成）”的条件的数、同时又是回文数。n的倍数中可能有很多个满足“仅由0和7构成（或仅由7构成）”的条件的数，而且其中也可能有多个还满足回文数的条件。但是只有第一个（即最小的那个）满足“仅由0和7构成（或仅由7构成）”的条件的数同时又是回文数的n才符合题目的要求。这就是为什么是以上(1)—(2)—(3)的顺序，而不是(1)—(3)—(2)了。有兴趣的读者可以细想一下为什么(1)—(3)—(2)不行。

3.2 代码及测试

check_list = list(range(1,51,2))
ok_dict    = dict()
ng_dict    = dict()
t1 = time.perf_counter()

m = 1 # 'm': set the number of digits   
while 1:
    aSet = set() # Use set to remove repetition
    for item in it.product(['0','7'], repeat=m):
        # print(item)
        if item[0]=='0' or ('0' not in item):
        # if item[0]=='0':    
            continue
        
        # print(''.join(list(each)))
        aDec = int(''.join(list(item)))
        for k in check_list:
            if k in ok_dict or k in ng_dict:
                continue
            if aDec % k == 0:
                if palindrome(aDec):
                    ok_dict[k] = (aDec//k,aDec)
                else:
                    ng_dict[k] = (aDec//k,aDec)
    if len(ok_dict)+len(ng_dict) == len(check_list):
        break
    m = m+1
    
tCost = time.perf_counter() - t1
print('Number of ok_dict = {0}, tCost = {1:6.3f}'.format(len(ok_dict),tCost))            
for key in ok_dict:
    print('\t',key, ok_dict[key])

其中如果需要“仅由0和7构成”或“仅由7构成”之前进行切换的话，只需要切换以下两条语句即可。

3.3 运行结果：

运行速度比前面的暴力搜索快5个数量级！