程序员的算法趣题Q34: 会有几次命中注定的相遇

1. 问题描述

假设存在如下图的正方形，该正方形被划分成了边长为1的正方形的格。男生从A到B，女生从B到A，分别沿着最短路径以相同速度前行（两人同步，每次都横向或纵向各走一格）。如果符合以下情形，则判定为“命中注定的相遇”

1.  两次同时停在同一直线内的定点上（相互可见状态）
2.  在同一顶点交汇（相互接触状态）

边长为3时，几种成功和失败的例子如上图所示。

问题：边长为6时，发生“命中注定的相遇”的情况共有多少种？

2. 解题分析

两人都是以最短距离行进，因此男生只有{向右，向下}两种选项，女生只有{向左，向上}两种选项，两人的组合动作因此就是四种：

(1) {男:右；女:左}；

(2) {男:下；女:左}；

(3) {男:右；女:上}；

(4) {男:下；女:上}；

每前进一步，进行是否符合条件的判断，如果是符合条件(2)--相互解除状态，则直接判断成功；如果是符合条件(1)--相互可见状态，将相互可见次数加1，如果相互可见次数到达2则判定成功；如果女生已经跑到男生的左上位置而还尚未满足条件的话，则可以判定失败；最后（作为边界条件），如果发生越界的话也判定失败。

这种类型的问题很适合于用递归的方式实现（唯一需要担心的是递归深度），算法流程如下所示：

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Sep 19 08:24:18 2021

@author: chenxy
"""
import sys
import time
import datetime
import math
import random
from   typing import List
# from   queue import Queue
from   collections import deque
import itertools as it
from   math import sqrt, floor, ceil
import numpy as np

N = 6
M = 6
total_count = 0

def f(manX, manY, womanX, womanY, meet):
    # print(manX, manY, womanX, womanY, meet)
    global total_count

    if manX > N or manY > M or womanX < 0 or womanY < 0:
        return # Cross the boundary
    if manX > womanX and manY > womanY:
        return # Missed forever
    
    if manX == womanX and manY == womanY:
        total_count += 1
        # print(total_count)
        return
    if manX == womanX or manY == womanY:
        meet += 1
        if meet == 2:
            total_count += 1
            # print(total_count)
            return
        
    # Four possible move combination of two people
    f(manX+1, manY, womanX-1, womanY, meet)
    f(manX+1, manY, womanX, womanY-1, meet)
    f(manX, manY+1, womanX-1, womanY, meet)
    f(manX, manY+1, womanX, womanY-1, meet)

    # return -- No need, Should not come to this point.

tStart  = time.perf_counter()
f(0, 0, N, M, 0)
tCost  = time.perf_counter() - tStart

print('total_count = {0}, tCost = {1:6.3f}(sec)'.format(total_count,tCost))  

运行结果：total_count = 15752, tCost = 0.026(sec)

4. 后记

这道题目算是最近几道问题感觉最为轻松的，难得地很快就想清楚了解决方案。

然而，令人尴尬的是，答案错了。更令人尴尬的是，“偷看”了原书答案以及CSDN上其他小伙伴们贴出来的答案，基本思路是一致的，运行别人的代码也的确给出了正确答案，可是反复对比看仍然没有看出自己的代码究竟错在哪儿了—自信心受到了一万点暴击。

但是，与“看到一个正确的答案后：喔，原来如此”相比，也许看一个错误的答案并揪出其中的八阿哥（BUG）更具有挑战性，也更有助益。所以，这里还是厚着脸皮贴出来供大家批判，并期待有人帮助我指出哪儿错了^-^.

【2023-01-21】想明白了，问题出在以上流程中的提前退出。题目要求的是所有路径中满足题设条件的路径数，必须遍历所有的路径并搜索到底才能得到正确的结果。举个例说，在前面图示的成功示例2中，A和B相遇于(2,1)点，此后他们还将沿不同的路径（及他们的组合）到达各自的终点，如果在相遇于(2,1)点处就提前退出的话，这些路径就合计为一条路径了，因此导致得到的路径数远远小于正解答案。本题的订正题解分析和代码参见接下来的一篇。