学习绝对值方程 |x-12|+|x+11|=25求解方法

主要内容：

通过用初中数学知识数轴法、去绝对值法和高中阶段椭圆几何定义法，介绍已知绝对值方程|x-12|+|x+11|=25，求未知数x值的具体步骤。

方法一：数轴数值法

x1 x2

x b=-11 0 a=12

因为a-b=12+11=23<25,所以要在数轴上找一点C到a和b点差的绝对值的和为25，这个点必须在a的右边或者b的左边。

(1).当x在a点的右边时，有：

x2+11+(x2-12)=25

x2=x=13。

(2).当x在b点的左边时，有：

12-x1+(-11-x1)=25

x1=x=-12。

方法二：去绝对值法

(1).当x-12>0时即x>12,此时去绝对值为：

x-12+x+11=25,

x=13;

(2).当x+11<0时即x<-11,此时去绝对值为：

-x+12-x-11=25,

x=-12。

方法三：椭圆几何定义法

椭圆的几何定义为：到两个定点的距离等于定值。且这个定点就是椭圆的焦点，定值就是长半轴长的2倍。

对于本题，两个定点为F1(-11，0),F2(12，0)，设椭圆长半轴长为m，短半轴长为n，则：

2m=25,即m=25/2.中心O1为O1(1/2,0),

根据示意图，椭圆在m轴 上的两个端点A1，A2的横坐标即为所有绝对值方程x的解。

xA1=1/2-25/2=-12;

xA2=25/2+1/2=13。

方法四：绝对值平方法

∵|x-12|+|x+11|=25

∴|x-12|=25-|x+11|,

两边平方得：

x^2-24x+144=625-50|x+11|+x^2+22x+121,

方程变形，化简得：50|x+11|=46x+602。

(1)当x≥-11时，有：

50(x+11)=46x+602,解得x1=13.

(2)当x<-11时，有：

-50(x+11)=46x+602,解得x2=-12.