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趣题:用松了的圆规作给定一端点的指定长度线段

时间:12-09来源:作者:点击数:

《几何原本》的命题1是“作以给定线段为边的等边三角形”,其做法也正如大家所料:以AB为半径,分别以A、B为圆心作圆,交点C就是等边三角形的第三个顶点,于是连接AC和BC即可。《几何原本》的命题2则是一个看似更加简单的作图问题:给定点A和线段BC,作以A为其中一个端点的、长度等于BC的线段。我原以为《几何原本》的做法也和我们平常的做法一样——以A为端点向任意方向作一射线,再用圆规截取出和BC等长的线段。因此,每次在网上看到关于《几何原本》命题2时,我都会直接略过去。最近我才发现,《几何原本》中命题2的做法和大家想象的完全不一样,因为这种做法在《几何原本》中是不允许的。圆规只能用来作圆,不能用来度量和转移长度;换句话说,公设3中的“圆规”是一个“松”的圆规,一旦离开纸面后圆规的两脚便会“啪”的一声自动合拢。在这种条件下,你又如何实现上面提到的作图问题呢?

《几何原本》中的方法非常巧妙:首先,利用命题1作出等边三角形ABD。然后,以B为圆心,BC为半径作圆,交BD于E;然后,以D为圆心,DE为半径作圆,交AD于F。由等边三角形的定义,AD=BD;又由圆的定义,DF=DE;再由于等量减等量,于是AF就等于BE。再次利用圆的定义可知,BC也是等于BE的;最后由于“等于同量的两个量相等”,因此AF=BC,命题成立。

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