根号2是无理数的又一个精彩证明

The American Mathematical Monthly新年第一期中有一段精彩的根号2无理性证明。

假设√2等于p/q，那么对于任意自然数n都有：

(√2)ⁿq = 2^n/2q    当n是偶数时

2^(n-1)/2p          当n是奇数时

无论哪种情况，(√2)ⁿq都是一个自然数。由二项式定理，对任意大的n都有：

但这显然是不可能的，因为序列(√2– 1)ⁿq是收敛到0的。

参考资料：http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml#proof16