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经典证明:任何可数集都含有不可数个嵌套子集

时间:12-09来源:作者:点击数:

你相信吗?对于任意一个可数集,总能找出不可数个子集,使得从中任取两个集合,其中一个都是另一个的真子集。乍看之下,这似乎是不可能的。如果任两个集合之间都具有“其中一个是另一个的真子集”的关系,那它们就能构成一个“集合序列”(准确地说是全序关系),使得每个集合都是由它前面那个集合添加进若干元素得到;换句话说,我们能通过不断往一个空集中添加新的元素依次得到所有这些集合。但是如果这些集合中的元素就只有可数个,那这个“集合序列”中怎么会有不可数个集合呢?然而,涉及到无穷的问题总是那样违背直觉。下面我们只用三行字就能说明,这个命题的的确确是成立的。

由于可数集与可数集之间总存在一一对应的关系,为了证明原命题,我们只需要说明命题对某个特定的可数集成立即可。对于全体有理数集Q来说,该命题是成立的。对每一个实数r,令集合S_r = {q|q∈Q且q<r}。根据这个定义,我们得到了不可数个形如S_r的集合,显然从中任取两个集合,其中一个都是另一个的真子集。

来源:http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/NestedSubsets.shtml

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