趣题：竞技场里的狮子能否保证抓住最高速度相同的小明？

小明和狮子同被关在一个半径为 10 米的竞技场里，狮子位于竞技场的圆心处，小明则在距离圆心 1 米的地方。两者的最大运动速度都是每秒 1 米。狮子有没有什么必胜策略，使得不管小明怎么跑，它总能在有限的时间里抓住小明？

根据MathWorld相关词条的描述，这个问题是由 R. Rado 在 1925 年时提出的。一个经典的“答案”是，狮子只需要始终保持自己与小明在圆盘的同一半径上即可。直觉上看，由于狮子总是处在“内圈”上，因而不管小明跑到了哪里，狮子总能轻松地与小明继续保持在同一半径上；并且，狮子总有足够的余力向小明靠近，严格减小它与小明之间的距离，除非小明是沿着半径方向径直向外跑。由于竞技场的大小是有限的，小明不可能无限地向外跑，因而狮子最终总会追上小明。但是，后来人们发现，这个解法其实是错误的，原因很简单：能不断靠近小明，不一定就能在有限的时间里抓住小明，正如 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … 永远不会超过 1 一样。最终， A. S. Besicovitch 为小明构造出了一个极其巧妙的策略，使得狮子无论如何都抓不到小明，从而完美地解决了这个问题。不过， MathWorld 的词条里并没有提到这个解法。你能想到这个解法吗？

A. S. Besicovitch 为小明设计的策略如下。游戏开始后，小明首先把接下来的时间分成一小段一小段的，这些时间段的长度依次为 t₁, t₂, t₃, t₄, … 。不妨把竞技场的圆心记作 O ，把小明当前的位置记作 M 。每个时间段开始的时候，小明都会看看此时此刻线段 OM 的位置，并且沿着垂直于 OM 的方向，以最高速度往没有狮子的那一侧跑去（如果狮子的位置恰好位于 OM 所在直线上，则向任意一侧跑去）。容易看出，不管在哪个时间段里，狮子都不可能追到小明。如果把第 i 个时段结束后小明与圆心的距离 OM 记作 r_i，那么由勾股定理可知：

r_i²= r_i-1²+ (t_i· 1)²= r_i-1²+ t_i²

其中 r₀= 1 。

因此，当 t₁+ t₂+ t₃+ … + t_n这么多的时间过去以后，小明与圆心的距离 OM 满足

OM²= r_n²= 1²+ t₁²+ t₂²+ t₃²+ … + t_n²

最巧妙的地方来了。令 t_i= 1/i ，那么 t₁+ t₂+ t₃+ … 是发散的，但 t₁²+ t₂²+ t₃²+ … 却是收敛的。具体地说：

t₁+ t₂+ t₃+ t₄+ t₅+ …

= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + …

> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + …

= 1 + 1/2 + (1/4) × 2 + (1/8) × 4 + (1/16) × 8 + …

= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

它显然可以达到任意大。而

t₁²+ t₂²+ t₃²+ t₄²+ t₅²+ …

= 1 + 1/2²+ 1/3²+ 1/4²+ 1/5²+ …

< 1 + 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) + …

= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + …

= 1 + 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + …

≤ 2

因而 OM²始终不超过 1 + 2 = 3 ， OM 的长度也就始终不超过 √3≈ 1.732，这远远小于竞技场的半径（事实上， OM²的极限是 1 + π²/ 6 ，可以算出 OM 的极限约为 1.63 ）。这说明，不管时间过去了多久，小明始终在坚持运动，并且运动路线始终在可活动范围以内。既然每一个时间段里狮子都无法抓到小明，狮子自然也就永远抓不到小明了。

题目和解答最早应该出自 John Littlewood 的 A Mathematician’s Miscellany 一书当中。图片中的小狮子图标来自这里，小明图标则来自这里。题目里的“策略”一词缺乏形式化的描述，这使得本文的内容非常不严谨，同时还会引发很多其他有趣的讨论，感兴趣的读者可以见这里。