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物理方法解决数学问题(四):Fermat-Torricelli问题

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据说,17世纪时,大数学家Fermat曾向意大利的物理学家和数学家Torricelli提出过这样一个问题:在已知锐角三角形ABC内求一点P,使得PA+PB+PC最小。Torricelli证明了,这个点是存在的,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出,若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB',则AA'、BB'、CC'三线共点,交点即为所求的点P。这个点后来被称为Fermat点,通常记作F。这个定理有很多种证明,这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。

考虑三角形内任一点P,将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。显然,△BPP'是等边三角形,PB=P'P;同时,PA也转移到了C'P',于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC,P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。注意C'的位置是和P无关的(C'AB始终成等边三角形),因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。这个最小值是可以达到的,即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°,则旋转之后∠C'P'B也等于120°,正好与∠BP'P组成一个平角,于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上,C'P'+P'P+PC达到最小。这个点就是我们要求的Fermat点F。注意这个点F满足以下两条性质:在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上,对AB张角为120°。由对称性,∠BFC和∠CFA也都等于120°,且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。

这个题目真正有趣的地方在于,它有一个非常简单的物理解法。我们可以用Fermat原理来说明,为什么Fermat点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度,那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时,路径B->F->C必然符合光的传播性质,反射点F满足入射角等于反射角,也就是说AF的延长线(即法线)平分∠BFC。同样地,固定BF的长度,则要想AF+FC最小,BF的延长线必须平分∠AFC。类似地,还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时,AF+BF+CF才能达到最小,否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等,我们立即看到,右图中所有这6个角全都等于60°。这样,我们就得到了先前证明的结论:存在点F使得它到A、B、C的距离和最小,此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。

上面的这个问题有一个扩展,叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, …, An,每个点都有一个权值W1, W2, …, Wn,广义Fermat点是这样的一个点P,它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性,有非常高的实用价值。比如,城区里有n个住宅区,第i个住宅区里有Wi个人,问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前,广义Fermat点问题还没有一般结论,但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明,这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上,我们可以建立力学模型找出这个点来。

取一块木板,在木板上标出n个点所在的位置,各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳,把所有绳子的其中一头扎结于一点;第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去,绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后,把木板水平悬在空中,此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢?

道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向,此时重力势能转化为动能;当整个系统静止时,势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离,那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定,因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值,所以ΣPAi*Wi达到最小。

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