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中考数学中的几种解题思想方法

时间:08-25来源:作者:点击数:

所谓的数学解题思想方法,指的是运用一定的技巧,在已有的数学学习基础上,通过大量的解题练习,从中得出解题规律,并最终归纳总结形成一种模式,这种模式适用于整个同类型题目的解法.下面分析的是中考中几种最常用的解题思想,分享给大家.

一、整体的数学思想

整体思想是指我们应该把注意力和着眼点都放在数学问题的整体上,通过纵观整个题目,研究问题的形式和结构,进而做出整体性的分析、处理,最终达到顺利解题的目的.

图1

例1(2017·北京)如图1所示,分别以n边形的顶点为圆心,作半径为单位长度1的圆,则图中阴影部分的面积之和为多少?

分析仔细观察题中条件后可以知道,n个扇形的圆心角恰好是n边形的n个外角,其和等于360°,于是,利用整体思想可以将这一问题转化为求一个半径为1的圆的面积,从而得出阴影部分的面积之和为π.

二、化归的数学思想

化归的数学思想的本质是一种由陌生向熟悉转化、由未知向已知转化、由非基本问题向基本问题转化的解题策略.[1]

例2(2016·广西)判断下列各数3555,4444,5333的大小关系.

分析本题要直接计算每个数,显然是非常庞大的,可是如果将它们化归为异底数同次幂的结构形式,再比较底数的大小,那么就可以顺利地解决问题.

解 3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111,125<243<256.

所以5333<3555<4444

三、分类的数学思想

分类讨论在解决数学问题中经常出现,也是一种重要的数学思想.在对数学对象进行分类的时候,我们要找的是一种解题思维方法,寻找它的目的是克服思维的片面性,防止遗漏.[2]

例3(2017·山西)已知在一个直径为50 cm的圆中,弦AB的长为40 cm,弦CD的长为48 cm,而且AB∥CD,求AB,CD间的距离.

分析在本题中,由于圆具有对称性,因此两条弦的位置会出现两种情况,这一点学生在做题的时候往往会忽略,一般只会考虑图2这一种情况.

图2

解 过点O作OE⊥AB,垂足为E,直线OE交直线CD于点F,

∵AB∥ CD,∴OF⊥CD,

连接OA,OC.

第一种情况:如图2,当AB和CD位于点O的同侧时,AB与CD之间的距离为:

第二种情况:如图3,当AB和CD位于点O的异侧时,

图3

AB与CD间的距离为:

所以AB与CD间的距离为8cm或22cm.

四、方程的思想

数学是研究事物的空间形式和数量关系的.初中最重要的数量关系是等量关系,其次是不等量关系,而最常见的等量关系就是方程.比如等速运动中,路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系,可以建立一个相关等式:速度×时间=路程,在这样的等式中,一般会有已知量,也有未知量,像这样含有未知量的等式就是方程,而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程.学生在小学就已经接触过简易方程,而七年级则是比较系统地学习解一元一次方程,并总结出解一元一次方程的五个步骤.

学生如果学会并掌握了这五个步骤,那么就能够顺利地解出任何一个一元一次方程.八年级、九年级学生还将学习解一元二次方程、二元一次方程组、简单的三角方程;到了高中,还将学习指数方程、对数方程、线性方程组、参数方程、极坐标方程等.解这些方程的思维几乎是一致的,都是通过一定的方法将它们转化成一元一次方程或一元二次方程的形式,然后用我们熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者一元二次方程的求根公式加以解决.物理中的能量守恒,化学中的化学平衡式,以及现实中的大量实际应用都需要建立方程,通过解方程来解决问题.因此,学生一定要将解一元一次方程和解一元二次方程的方法学好,这样才能学好其他形式的方程.

所谓的方程思想就是对于数学问题,特别是现实中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系,善于用方程的观点去构建有关的方程,进而用解方程的方法去解决问题.

五、数形结合的数学思想

大千世界,“数”与“形”无处不在.任何事物,去除它的质的方面,就只剩下形状和大小这两个属性需要数学去研究了.初中数学有两个分支——代数和几何,代数是研究“数”的,几何是研究“形”的.但是,研究代数要借助“形”,研究几何要借助“数”,“数形结合”是一种趋势,越往下学,“数”与“形”就越密不可分.到了高中,就出现了专门用代数方法去研究几何问题的一门课,叫作“解析几何”.在九年级,建立平面直角坐标系后,研究函数的问题就离不开图像了.借助图像往往能使问题明朗化,比较容易找到问题的关键所在,从而解决问题.在今后的数学学习中,教师要引导学生重视“数形结合”的思维训练,任何一道题,只要与“形”能沾得上一点边,就应该根据题意画出草图来分析一番,这样做,不但直观,而且全面,整体性强,容易找出解决问题的切入点,对解题大有益处.这样学生就会养成一种“数形结合”的思维习惯.

数形结合思想在初中阶段就开始学习并运用,在高中乃至大学是学习的重点,也是非常实用的一种数学方法,具体指的是将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究,最终解决问题的一种方法.[3]

例4如图4,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A,B的坐标分别是(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发,并以每秒1个单位的速度匀速运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于点P,连接NP,已知动点运动了x秒.[3]

图4

(1)求P点的坐标(用含x的式子表示);

(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;

(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.

解 (1)由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),

∴P点的坐标为

NPC的高为

∴S的最大值为

此时x=2.

(3)如图5,延长MP交CB于点Q,则有PQ⊥BC.

图5

①若NP=CP,

∵PQ⊥BC,∴NQ=CQ=x,

∴3x=4,

②若CP=CN,

③若CN=NP,

∵CN=4-x,CQ=x,∴NQ=4-2x.

在Rt△PNQ中,

综上,

总之,我们在具体解题时,一定要认真审题,紧紧抓住题目中的所有条件,不要忽略了任何一个条件.一道题和一类题之间有一定的共性,可以想想这一类题的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住这一道题的特殊性,以及这一道题与这一类题不同的地方.数学的题目几乎没有相同的,总有一个或几个条件不尽相同,因此思路和解题过程也不尽相同.有些学生对于老师讲过的题会做,其他的题就不会做,只会依样画瓢,题目稍有些小的变化就无从下手.其实,我们做题时可以选择一个或几个条件作为解题的突破口,看由这个条件能得出什么结论,得出的结论越多越好,然后从中选择与其他条件有关的,或与题目中的隐含条件有关的结论进行推理或演算.一般难题都有多种解法,我们要相信利用这道题的条件,加上自己学过的知识,一定能推出正确的结论.

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