一个线性代数的应用实例

利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，已有一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：

是否存在不全相等的2n+1个数x₁,x₂,⋯,x_2n+1，使得任意删除一个数，剩下2n2n个数可以均分为 2 组，每组nn个数的和都相等。

如果限定x_i是整数，这就是一个简单的高中（初中？）数学竞赛中的数论题，

由于2n+1个数，任意去掉一个数剩下的数的和都是偶数，这意味着所有2n+1个数的奇偶性相同。如果它们都是偶数，那么将它们都除以 2 ，如果都是奇数，将它们减一再除 2。这样操作之后得到的数仍然满足上面的条件，这样经过若干步之后所有数都相等（等于 0 或者-1 ），这意味着原来的原来的2n+1个数必然全部相等。

很可惜，如果不要求x_i是整数，上面的证明就失效了。但利用线性代数里的一些简单事实，我们很快就能得出同样的结论，这样的x_i必然全部相等

记x为列向量(x₁,x₂,⋯,x_2n+1)，假设去掉x_i之后，剩下来的数可以分为和相等的两等分子集，那么存在行向量a_i使得a_ix=0，其中a_i的第i个位置为 0 ，其余2n个元素恰好有n个 1 和-1。

令矩阵A=[a_i]，其中a_i是A的第i行。那么Ax=0，我们证明x的所有元素都必然相等。

令J为同样大小的全 1 矩阵，那么A+J除了对角线上都是 1 之外，其余位置都是偶数，这样矩阵行列式det(A+J)的表达式中有一个唯一的奇数，这意味着det(A+J)≠0，从而rank(A+J)=n，所以rank(A)≥rank(A+J)−rank(J)=n−1。

故Ax=0至多一个非零解，可验证x=(1,1,⋯,1)就是它的唯一解。