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玩转内接多边形(五):任意多边形内均存在内接菱形

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我们曾经用两种巧妙的方法证明了这样一个命题:任意多边形内均存在内接菱形。利用上次讲到的登山引理,我们可以证明一个更强的命题:任意多边形内均存在内接菱形。

证明的大致思路如下:在多边形外任选一点 u 。把多边形上离 u 最近的点记作 y ,把多边形上离 u 最远的点记作 z 。 y 和 z 这两个点就把整个多边形的边界分成了两个部分。

回忆登山引理的内容:对于两个函数值从 0 连续地变到 1 的“折线段函数” f(x) 和 g(x) ,我们总能连续地调整 x1 和 x2 的位置,使得 f(x1) 与 g(x2) 总保持相等,它们从一开始的 0 出发,同时到达 1 。把登山引理应用到上图中,我们可以得到这个结论:我们可以让点 x1 从 y 出发沿着图中的上半部分移动到 z ,点 x2 从 y 出发沿着图中的下半部分移动到 z ,并且保证 x1 到 u 的距离始终等于 x2 到 u 的距离(为了照顾对方,必要时 x1 和 x2 可能会走回头路)。这样, u 、 x1 、 x2 就始终能成为一个菱形的三个顶点。我们把菱形的第四个顶点记作 v 。容易证明 v 的轨迹也是连续的。

当 x1 和 x2 离 y 点充分近的时候, v 点显然在多边形内部;但当 x1 和 x2 跑到 z 附近时, v 显然就跑到了多边形外。在此过程中, v 点必然穿过了多边形的边界,此时 u 、 x1 、 x2 、 v 就构成了这样一个菱形,它的后面三个顶点都在多边形上。

现在,固定 y 点,让 v 点逐渐靠拢 y 点,则对应的这个菱形也会连续地发生变化。容易想到,这一过程的极限将会收敛到某个固定的菱形(这是可以证明的),它就是我们所求的内接菱形。

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