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高斯函数的详细分析

时间:07-24来源:作者:点击数:

摘要

论文中遇到很重要的一个元素就是高斯核函数,但是必须要分析出高斯函数的各种潜在属性,本文首先参考相关材料给出高斯核函数的基础,然后使用matlab自动保存不同参数下的高斯核函数的变化gif动图,同时分享出源代码,这样也便于后续的论文写作。

高斯函数的基础

2.1 一维高斯函数

高斯函数,Gaussian Function, 也简称为Gaussian,一维形式如下:

对于任意的实数a,b,c,是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。高斯的一维图是特征对称“bell curve”形状,a是曲线尖峰的高度,b是尖峰中心的坐标,c称为标准方差,表征的是bell钟状的宽度。

高斯函数广泛应用于统计学领域,用于表述正态分布,在信号处理领域,用于定义高斯滤波器,在图像处理领域,二维高斯核函数常用于高斯模糊Gaussian Blur,在数学领域,主要是用于解决热力方程和扩散方程,以及定义Weiertrass Transform。

从上图可以看出,高斯函数是一个指数函数,其log函数是对数凹二次函数whose logarithma concave quadratic function。

高斯函数的积分是误差函数error function,尽管如此,其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来,使用如下的高斯积分

同理可得

当且仅当

上式积分为1,在这种情况下,高斯是正态分布随机变量的概率密度函数,期望值μ=b,方差delta^2 = c^2,即

2.2 二维高斯函数

二维高斯函数,形如

A是幅值,x。y。是中心点坐标,σxσy是方差,图示如下,A= 1,xo= 0,yo= 0, σx= σy= 1

2.3 高斯函数分析

这一节使用matlab直观的查看高斯函数,在实际编程应用中,高斯函数中的参数有

ksize 高斯函数的大小

sigma 高斯函数的方差

center 高斯函数尖峰中心点坐标

bias 高斯函数尖峰中心点的偏移量,用于控制截断高斯函数

为了方便直观的观察高斯函数参数改变而结果也不一样,下面的代码实现了参数的自动递增,并且将所有的结果图保存为gif图像,首先贴出完整代码:

 function mainfunc()
% 测试高斯函数,递增的方法实现高斯函数参数的改变对整个高斯函数的影响,
% 并自动保存为gif格式输出。
% created by zhao.buaa 2016.09.28

%% 保存gif动画
item = 10;      % 迭代次数
dt = 1;             % 步长大小
ksize =20;      % 高斯大小
sigma = 2;      % 方差大小
% filename = ['ksize-' num2str(ksize) '--' num2str(ksize+dt*item) '-sigma-' num2str(sigma) '.gif']; %必须预先建立gif文件
filename = ['ksize-' num2str(ksize)  '-sigma-' num2str(sigma) '--' num2str(sigma+dt*item) '.gif']; %必须预先建立gif文件

% main loop
for i = 1:item
    center  = round(ksize/2);          % 中心点
    bias       = ksize*10/10;              % 偏移中心点量
    ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias);    % 构建核函数
    tname  = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
    figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
    %设置固定的x-y-z坐标范围,便于观察,axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
    axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]);  view([0, 90]);% 改变可视角度   
    % ksize 递增
%     ksize = ksize + 10;
    % sigma 递增
    sigma = sigma + dt;     
    
    % 自动保存为gif图像
    frame = getframe(i);
    im = frame2im(frame);
    [I,map] = rgb2ind(im,256);
    if i==1
        imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
    else
        imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
    end
end;

close all;


%% 截断高斯核函数,截断的程度取决于参数bias
function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
%ksize = 80;    sigma = 15;
ksigma=fspecial('gaussian',ksize, sigma);   % 构建高斯函数
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if(  (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias)  )
            ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;

结果图:

固定ksize为20,sigma从1-9,固定center在高斯中间,并且bias偏移量为整个半径,即原始高斯函数。

随着sigma的增大,整个高斯函数的尖峰逐渐减小,整体也变的更加平缓,则对图像的平滑效果越来越明显。

保持参数不变,对上述高斯函数进行截断,即truncated gaussian function,bias的大小为ksize*3/10,则结果如下图:

truncated gaussian function的作用主要是对超过一定区域的原始图像信息不再考虑,这就保证在更加合理的利用靠近高斯函数中心点的周围像素,同时还可以改变高斯函数的中心坐标,如下图:

为了便于观察截断的效果,改变了可视角度。

高斯核函数卷积

论文中使用gaussian与feature map做卷积,目前的结果来看,要做到随着到边界的距离改变高斯函数的截断参数,因为图像的边缘如果使用原始高斯函数,就会在边界地方出现特别低的一圈,原因也很简单,高斯函数在与原始图像进行高斯卷积的时候,图像边缘外为0计算的,那么如何解决边缘问题呢?

先看一段代码:

% 截断高斯核函数
ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian',  ksize, 6);
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;
figure, mesh(ksigma);

在i,即row上对高斯核函数进行截断,bias为半径大小,则如图6

并且对下图7进行卷积,

首先卷积核为原始未截断高斯核函数,则结果如图8

可以看出,在图像边缘处的卷积结果出现不想预见的结果,边缘处的值出现大幅度减少的情况,这是高斯核函数在边缘处将图像外的部分当成0计算的结果,因此,需要对高斯核函数进行针对性的截断处理,但是前提是要掌握bias的规律,下面就详细分析。

如果使用图6的高斯核函数与图7做卷积操作,则如图9:

可以看出,相比较于图8,与高斯核函数相对应的部分出现了变化,也就是说:

        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;

靠近边缘的时候,改变 i 或 j 的值,即可保证边缘处的平滑处理。但是这样改变高斯核函数,使用matlab不是很好解决这个问题,还是使用将待处理图像边缘向外部扩展bias的大小,与标准高斯核函数做卷积,再将超过原始图像大小的部分剪切掉,目前来看在使用matlab中imfilter函数做卷积运算最合适且最简单的处理方法了,先写在这里,此部分并不是论文中的核心部分,只是数值运算的技巧性编程方法。

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