程序员的算法趣题Q06: 改版考拉兹猜想

1. 问题描述

考拉兹猜想：

对自然数n执行如下操作：

+ 若n是偶数，用n除以2

+ 若n是奇数，用n乘以3后加1

如此循环操作的话，无论初始值是什么，最终都会得到1（会进入1-->4-->2-->1）的循环

考虑稍微修改一下以上迭代的规则。当初始状态是偶数的话，第一次也用n乘以3加1，其后迭代规则不变。

求在10000以内的偶数中总共有多少个数，经过以上修改的迭代规则能够回到初始状态的？

注意，由于原始考拉兹猜想是无论什么初始状态最后都将回到1，所以在改版考拉兹猜想中，无论初始值是什么最终也终将回到1.只不过有一些偶数会先回到初始状态然后再收敛到1.本题就是要找有多少这样的会回到初始状态的数。

2. 解题分析

这个题目实在没有什么好分析的。

循环迭代，不管是到达1还是回到初始状态都停止循环。到达1表明不是“会回到初始状态”的数，到达1之前先回到初始状态的数则是所寻找的对象。

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Aug 23 13:40:11 2021

@author: chenxy
"""

import sys
import time
import random
from   typing import List
from   queue import Queue
from   collections import deque

class Solution:
    def numOfLoop(self, N: int) -> List:
        ans = []
        
        def modified_collatz(K):
            isFirst = True
            a   = K
            while 1:
                if a%2 == 0:
                    if isFirst:
                        a = 3*a + 1
                        isFirst = False
                    else:
                        a = a/2
                else:
                    a = 3*a + 1
                
                if a == K:
                    return True # Find one loop in modified collatz iteration
                if a == 1:
                    return False # No loop found in modified collatz iteration
            
        for n in range(2,N,2):
            if modified_collatz(n):
                ans.append(n)
            
        return ans
               
if __name__ == '__main__':        
            
    sln = Solution()    

    tStart = time.time()
    N = 1000000
    ans = sln.numOfLoop(N)
    tCost = time.time() - tStart
    print('N = {0}, numOfLoops = {1}, tCost = {2}(sec)'.format(N, len(ans), tCost))              

运行结果如下：

N = 10000, numOfLoops = 34, tCost = 0.0997314453125(sec)

print(ans)：[2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 40, 44, 52, 106, 184, 206, 244, 274, 322, 526, 650, 668, 790, 866, 976, 1154, 1300, 1438, 1732, 1780, 1822, 2308, 2734, 3238, 7288]

不过正如原书中所说的，虽然在10000以内就找到了34个数能回到初始状态，再加大搜索范围就再也没有了。笔者验证1,000,000以内是没有的。这个也确实有点神奇，由此间接地能略窥一点原始考拉兹猜想的神秘风采。