趣题：内切圆与最大内接矩形

看图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。证明：当内接矩形的面积达到最大时，r1^2 + r2^2 = r3^2。

四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。这里，我们重点观察四个三角形斜边长的关系。

如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：

△ABC        a        b        c

△EDC        ka        kb        kc

△AEF        …        …        (1-k)b

△DBG        …        …        (1-k)a

现在，我们要证明的是，当矩形DEFG面积达到最大时，有：

[(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2

也即

(1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2

同时，我们还知道a^2 + b^2 = c^2。等式两边同时乘以k^2后与上式相减，我们就得到：

(1 – 2k) * (a^2 + b^2) = 0

显然，只有k=1/2时上式才有可能成立。

接着看，由△DBG ∽ △ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此DG = (1-k)ab/c。另外，我们还知道DE=kc，那么矩形DEFG的面积就可以这样表示：

S = DG x DE = (1-k)k * ab

S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线，显然在k=1/2时达到最大值。

来源：cut-the-knot新文