在每一代的繁殖中,单个的阿米巴原虫有3/4的概率分裂成两个,有1/4的概率死亡(而不产生下一代)。初始时只有一个阿米巴原虫,求阿米巴原虫会无限繁殖下去的概率。
答案在下面。
解答:令p为单个阿米巴原虫分裂的概率(题目中等于3/4),令P为我们要求的概率(无限繁殖的概率)。
初始时的那个阿米巴原虫有p的概率分裂为两个,至少有一个可以无限生存下去的概率为1-(1-P)^2。那么,我们得到式子:
P = p*( 1 – (1-P)^2 )
化简后得到:
p*P^2 + (1 – 2p)P = 0
或者写成:
P * ( pP + ( 1-2p ) ) = 0
由于P≠0,因此pP+(1-2p) = 0,即P = (2p-1)/p
可以看到,如果一个阿米巴原虫分裂的概率没超过1/2,那么它不可能永远生存下去无限生存下去的概率为0。在我们的题目中,p=3/4,因此阿米巴原虫无限繁殖的概率为2/3。