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等边三角形内接圆上一点到三顶点距离平方和不变

时间:11-23来源:作者:点击数:

如图,等边三角形ABC,P为三角形内接圆上一点。求证,AP^2 + BP^2 + CP^2为常数。

证明:把整个图形放在三维空间里,其中A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)。因此,三角形ABC位于平面x+y+z=1上。图中的内接圆即为某个以原点为球心的球x^2 + y^2 + z^2 = r与该平面相交所得(其中r是某个常数)。于是,我们有

AP^2 + BP^2 + CP^2

= (1-x)^2 + y^2 + z^2 +

x^2 + (1-y)^2 + z^2 +

x^2 + y^2 + (1-z)^2

= 3·(x^2 + y^2 + z^2) – 2·(x + y + z) + 3

= 3·r – 2 + 3

= 常数

来源:http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/EquiIn3D.shtml

查看更多:几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题

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