3 分钟读懂曼德博集合：迭代公式、逃逸时间与朱利亚集合的关联逻辑

曼德博集合（Mandelbrot set）到底是个什么东西呢？简单来说，它是一个二维点的集合。要定义它，我们需要先来到一个叫作复平面（complex plane）的数学世界里。

我们把复平面上的每一个点，也就是每一个复数\(c\)，都拿来做一场“迭代测试”。测试的规则是这样的：我们从一个初始值\(z=0\)开始，然后反复地套用这个函数公式\(f_c(z)=x^2+c\)。也就是说，我们先算出\(f_c(0)\)，得到一个结果，然后再把这个结果带入函数，算出\(f_c(f_c(0))\)，再把新结果带进去……如此循环往复。

如果在这一连串的迭代过程中，产生出来的数值序列 ）始终被“束缚”在一个有限的范围内，其绝对值不会奔向无穷大，那么，恭喜你，这个复数\(c\)就是曼德博集合的一员。

比如\(c=-1,-2,i,1,0.5\)时，所产生的序列如下表格所示：

说起来，这个集合最早并非由曼德博本人发现。在 1978 年，数学家罗伯特·W·布鲁克斯和彼得·马特尔斯基在研究克莱因群时已经定义并画出了它的草图。但真正让它惊艳世人的，而是两年后。

▲1978 年， 罗伯特·W·布鲁克斯 (Robert W. Brooks) 和彼得·马特尔斯基 (Peter Matelski) 首次发表了曼德布洛特集的图片

1980 年，本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）在 IBM 的研究中心，第一次用计算机为它绘制出了一张图像。而当那张图像生成时，它那令人难以置信的视觉复杂性与美感，才第一次完整地展现在人类眼前。

曼德博集合的图像，拥有一个复杂到令人难以置信的边界。当你不断放大这个边界时，总能看到层出不穷、越来越精细的递归细节；从数学上讲，曼德博集合的边界其实是一条分形曲线(fractal curve)。更有意思的是，这些递归细节的“风格”还各不相同，具体长什么样，取决于你放大的是边界的哪个区域。

那么，这些绚丽的图像是怎么画出来的呢？其实原理并不复杂，用所谓的“逃逸时间”来选择颜色。

你可以想象计算机像一个勤劳的画家，在复平面这块画布上，对密密麻麻的像素点逐一进行测试，判断每个点\(c\)生成的序列会不会奔向无穷远。

我们可以把\(c\)的实部和虚部当作图像的坐标。如果一个点生成的序列很快就“逃”了出去，我们就给它涂上一种颜色；如果多花了一些时间才逃出去，就涂上另一种颜色。那要是有些点迭代了很久很久都还没逃出去呢？它们大概率就是属于曼德博集合了，如上图所示会把它们涂成深邃的黑色。

这里有个小窍门：我们怎么判断一个点算不算“逃逸”了呢？数学家已经证明，只要序列里任何一个点的模长\(|z_n|\)超过了 2，它就注定会一去不复返，奔向无穷远。所以，2 就成了一个绝佳的“逃生门槛”。

实际计算中，迭代 100 次或 1000 次就足够判断了，当然次数越多越精确。

更有意思的是，如果我们换个玩法：固定住参数\(c\)不变，而是去改变迭代的初始值\(z_0\)，我们会得到什么呢？答案是另一族同样绚丽的分形图像，它们被称为朱利亚集合（Julia set）。

尽管规则很简单，曼德博集合却因其视觉上无限的复杂性而闻名于世，甚至在数学圈外都成了一个标志，常常被当作“数学之美”的典范。

更为严格的定义

现在不妨用更严谨的数学语言来描述一下。曼德博集合\(M\)指的是这样一类复数\(c\)的集合：对于这些\(c\)值，二次多项式\(P_c(z)=z^2+c\)的临界点\(z=0\)所生成的轨道（orbit）始终保持有界。

换句话说，一个复数\(c\)能不能入选，就看从\(z_0=0\)开始反复迭代\(z_{n+1}=z^2_n+c\)后，得到的整个序列\(z_n{^\infty_{n=0}}\)是不是始终“安分守己”的被圈在一个有限的范围里。

举两个例子：

如果我们取\(c=1\)，迭代序列是\(0,1,2,5,26,...\)，这个序列显然会奔向无穷大。所以，数字不属于曼德博集合。

反过来，如果我们取\(c=-1\)，迭代序列则是\(0,-1,0,-1,0,...\)，这个序列明显是有界的。因此，数字\(-1\)确实属于曼德博集合。

除了这个基本定义，数学家还从另外两个视角来看待它。

第一个视角是“连通性”。它和另一个神奇的数学对象——朱利亚集合（Julia set）密切相关。对于我们选定的每一个\(c\)值，都会对应一个独一无二的朱利亚集合。有的朱利亚集合是一整块连在一起的完整图案，我们称之为连通的（connected）；而有的则是碎裂成无数个小点的“尘埃”。

从这个角度看，曼德博集合就可以被定义为所有那些能生成连通的朱利亚集合的\(c\)值的集合。换句话说，它像是一个“参数地图”，标出了所有能产生“完整”朱利亚图案的\(c\)点。

第二个视角是“分岔”。曼德博集合的边界称为这个二次函数族的分岔轨迹（bifurcation locus）。“分岔”是什么意思呢？想象一下，在这些边界点\(c\)附近，系统的动态行为会发生剧烈的、戏剧性的变化。也就是说，你只要把\(c\)的值稍微挪动一点点，迭代序列的长期行为（比如是保持有界还是奔向无穷）就会突然从一种状态跳转到另一种状态，就共同勾勒出了那条我们看到的、无限复杂的边界线。