满足xy恰有k个约数的(x,y)所组成的图形

刚才在这里看到了如题所说的图像，立即想到用 Mathematica 验证一下。我选出了几个个人比较感兴趣的 k ，再用一句话便可输出所有对应 k 的图像：

kArray = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 36, 50};
For[i = 1, i <= Length[kArray], i++,  Export["F:\" <> ToString[kArray[[i]]] <> ".png",
  ArrayPlot[Table[Boole[Length[Divisors[x*y]] == kArray[[i]]], {x, 1, 400}, {y, 1, 400}],
   PixelConstrained -> {1, 1}, Frame -> False]]];

当 k=2 时，由于只有素数才有两个约数，因此所有点都是形如 (p, 1) 或者 (1, p) 的点，其中 p 为某个素数：

当 k=3 时，图像上的点大致成一条斜线，斜线上的点都是形如 (p, p) 的点，其中 p 为某个素数：

当k是更大一些的奇数时，情况类似，因此不再重复了。

当 k=4 时，图像上出现了很多竖直线和水平线，这些直线的位置与素数的平方相对应：

当 k=6 时，逐渐出现了一些乍看之下不好理解的元素：

当 k=8 时，出现了之前不曾见过的情况：图中有一些连续的直线段：

当 k=10 时：

当 k=12 时：

当 k=14 时：

当 k=16 时，更加怪异了：

当 k=18 时：

当 k=20 时：

当 k=36 时：

当 k=50 时：

研究这些图像各种有趣的模式产生的原因，无疑是一个有趣的课题。