物理直觉与数学证明：凸多边形的平衡点

任意给定一个凸多边形和它内部的一个点，证明把这个点投影到该凸多边形的每条边所在直线上，至少会有一个投影点恰好落在边里。换句话说，过凸多边形内一点向每条边的所在直线作垂线，则总会有一个垂足恰好就在对应的边上。

这个问题的限制条件之少，以至于乍看之下我们似乎无从下手。但有趣的是，物理直觉给我们带来了一个非常具有启发意义的“证明”。把凸多边形看作一个由密度不均匀的物质做成的物体，使得凸多边形里的那个给定点恰好就是物体的重心。把这个物体放在桌面上，只要重心在底边上的投影不在边内，那么重力和支持力就不可能在同一直线上，因此这个物体不会保持平衡，必然会往一侧翻滚。由于一个物体不可能在没有外力的情况下永无止境地翻滚下去（它哪来的那么多能量），因此最终这个物体将静止下来，此时重心在桌面上的投影就位于底边里了。

这个直观的物理证明虽然有趣，但我们寻求的毕竟是一个严格的数学证明。我们能从上述物理证明中得到什么启发呢？仔细思考物体由下落到翻滚最后变为静止的实质，你会想到这本质上就是物体重心不断下降、重力势能不断转化为动能的过程。当重心下降到不能再下降时，物体也就静止下来了。原来，这个物理证明想要告诉我们，离凸边形内的点最近的边就是我们所要找的那条边。

我们的数学证明思路也就明朗了——只需要从数学上说明离给定点最近的那条边的确满足投影点在边上的要求就可以了。事实上，假设上图中的红色虚线是给定点到所有边的垂线段中最短的一个，但垂足却在边的外面。我们立即发现，由于灰色直角三角形中斜边大于直角边，蓝色垂线段显然要比红色线段更短，这就与红色线段是所有垂线段中最短的一条相矛盾。可见，最短的垂线段所对应的垂足一定在边内。显然，不管是从物理角度还是从数学角度来说，这个命题对更高维的情形也都是成立的：对于给定凸多面体和它内部的一点，总能找到其中一个面使得，给定点在这个面上的投影恰好就落在这个面上。

考虑到投影点的物理性质，我们不妨约定，对于给定凸边形及其内部的一点O，如果凸边形某条边e上的一点P满足OP垂直于e，我们就说P是这个凸多边形的平衡点。从上面的例子中我们可以看到，凸多边形的平衡点至少有一个，并且也存在恰好只有一个的极端情况。但假如O点是密度均匀的凸多边形的重心，结果又如何呢？显然，恰好只有两个平衡点的情况是存在的（例如一个等腰梯形），但再三尝试后你会发现，此时要想再找到只有一个平衡点的凸多边形就不大可能了。事实上，我们可以证明，一个密度均匀的凸多边形最少也有两个平衡点。证明的关键在于下面这个引理。

引理：重心重合且面积相同的两个凸多边形至少有4个交点

证明：显然，两个凸图形的交点个数只可能是偶数个。假设两个凸多边形X和Y只有两个交点，这两个凸多边形的公共部份记作Z。令X’为X除去Z的部份，令Y’为Y除去Z的部份。由于X和Y的面积相同，因此X’和Y’的面积也相同，因此Z与X’的面积之比和Z与Y’的面积之比是一样的，无妨设这个比值为1:r。那么X的重心就应该在Z的重心与X’的重心的连线上的1:r处，Y的重心也应该在Z的重心与Y’的重心的连线上的1:r处。但X和Y的重心是重合的，由此推出X’和Y’的重心也应该是重合的。但这显然是不可能的，因为X’和Y’位于一条直线的两侧。

借助上述引理，我们便可以轻易证明前面所说的定理：如果O是密度均匀的凸多边形的重心，则该凸多边形至少有两个平衡点。

证明：以O为中心，适当半径作圆，使圆的面积与凸多边形的面积相同。则圆与凸多边形有至少4个交点。那么，在圆内至少会产生两组折线段。每一组折线段上的点到O点的距离都会存在一个极小值，而这些极小点显然就是满足要求的平衡点。

有趣的是，这个结论并不能推广到高维空间中去。在三维空间中，存在只有一个平衡点的密度均匀的凸图形。想象一个两头都被斜着削了一刀的圆柱体，把它放在桌面上，它显然只有一个（稳定的）平衡位置。如果用面数足够多的凸多面体去逼近这个图形，我们就可以得到一个只有一个平衡点的多面体。

Update：感谢网友们挑错。对，这里说的是稳定的平衡点。上面的那个立体图形其实有不止一个平衡点，但其它那些平衡点都是不稳定的，稍微一碰就不平衡了。对于多边形和多面体来说，前文借用垂直概念定义出来的平衡点都是稳定的，但需要注意的是，在一般的图形中却不能用这种方法来描述稳定平衡点。上图就有一个非稳定平衡点（重心正上方的那个点），它也满足到重心的连线垂直于切面。