几个令人惊叹的函数图像

国外有人发现一个鲜为人知的古董级函数作图软件——GrafEq。这个软件只有 2M 大小，它的功能就只有一个：作出形如 x²+ y²= 1 的二元等式或者不等式的图像。令人惊叹的是，这个软件的图像绘制能力异常强大， Mathematica 等大型专业数学软件完全不是它的对手。

这个软件早就没再更新了。它的“最新版本”是 2.12 ，只支持 Windows 95 到 Windows XP 的系统，或者 PowerPC 7.12 到 MacOS 9.2 的系统，可见其年代久远。神奇的是，这个软件的官方网站依然健在，而且软件竟然也都能下载。如果你有幸还能装上这款软件，你将有机会重温一次 Windows 95 时代的软件安装画面。

一些带有三角函数的方程，某些地方的图像变化非常剧烈，连 Mathematica 也无法准确地描绘出来：

然而， GrafEq 却能很好地描绘出来：

注意，方程的图像显然无法形成实心的方块，这只是因为图像太密集罢了。

既然有机会见到各种方程图像的真容，我们当然要多尝试一些更复杂的方程。下面是另外几个例子：

要比哪个图像最帅，还是要数 GrafEq 官方网站上提供的一个示例：

这个软件的算法是 Jeff Tupper 在 2001 年的一篇论文中提出的，感兴趣的读者可以在这里看到：http://www.dgp.toronto.edu/people/mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper.pdf

在这篇论文中， Jeff Tupper 创作了很多漂亮的函数图像，其中一个就是著名的Tupper 自我指涉公式。论文中还有几个精彩的图像，我也重新绘制了一遍，贴出来和大家一同分享。