程序员的算法趣题Q51: 同时结束的沙漏

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1. 问题描述

1.1 原题的表述

首先，我认为这道题目存在严重的表述问题（是原文的问题还是翻译的问题呢？）。

题干部分多次出现“同时向下落”的说法，稍有常识就知道只要每个沙漏的上半部分都有沙子，那不就时“同时向下落”的情况吗。结合上下文猜测应该是说“沙子同时漏完”的意思。

第一段话的括号里的“计时1分钟时，倒挂一个沙漏；计时2分钟时，倒挂两个沙漏；计时N分钟时，倒挂N个沙漏；”也是显而易见的理解错误。难道即是N+1分钟时，倒挂N+1个沙漏吗？哪来的N+1个沙漏呢？猜测应该是说：当前倒挂操作的起始沙漏为1分钟沙漏时则倒挂一个，为2分钟沙漏时则倒挂两个。。。依此类推。

“补充”说明的第一段所说的跟第二段说的根本就不是一回事。第一段是说想解释倒挂沙漏起始位置不同看作是不同排列，而第二段解释了两种看上去不同的排列（由于圆的对称性的特性）其实是同一种排列，牛头不对马嘴。不过这个有可能不是翻译的问题，而是原文就有问题。

2. 解题分析

没有什么花哨（没想到什么花哨），唯有暴力破解。问题的焦点在于如何表示不同的排列状态以及如何处理沙漏翻转。

2.1 转换为线性排列

N个沙漏，圆排列总共有 $(N-1)!$ 种（与之相对，线性排列的场合是种）。但是，对于每个圆排列，第一次沙漏倒挂操作的起始位置共有N种（其后的沙漏倒挂操作的起始位置是按顺时针旋转），所以{圆排列，首次沙漏倒挂起始位置}组合起来的话就又回到种了。所以可以把沙漏圆形排列还原成线性排列，只不过在线性排列中首次沙漏倒挂总是从排在首位的沙漏开始。只不过，要注意(1)沙漏倒挂起始位置是循环的，(2)连续倒挂多个沙漏时，存在跨越首尾边界的情况，即从尾部回到头部。

以下为一种情况的状态变化示例。

这个情况对应于原书的例子，经过6分钟后所有沙漏同时漏光沙子。

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Oct 11 07:25:51 2021

@author: chenxy
"""

# import sys
import time
# import datetime
# import math
# import random
# from   typing import List
# from   queue import Queue
# from   collections import deque
import itertools as it
import numpy as np

def flip_sandclock(state0):
    timer   = 0
    state0  = np.array(state0) + 1 # Convert to 1~N
    cur     = state0 
    # print(state0)
    
    visited = set()
    flip_start = 0
    while 1:        
        cur_state  = tuple(list(cur)+[flip_start])
        if cur_state in visited:
            return False, -1  
        visited.add(cur_state)
        
        # 1 minute later
        nxt   = cur - 1 # Using numpy broadcasting
        nxt[nxt<0] = 0 # If no sand in the up half, keep it empty.
        # print(nxt)              
        if np.array_equal(nxt, np.zeros(N,dtype='int')):
            return True, len(visited)
                
        # Flip the sand clocks
        for k in range(flip_start, flip_start + state0[flip_start]):
            m = k%N
            nxt[m] = state0[m] - nxt[m]
        cur = nxt
        flip_start = (flip_start + 1)%N
               
N      = 8
OK_cnt = 0
tStart = time.perf_counter()
for state0 in it.permutations(np.arange(N)):
    rslt, steps = flip_sandclock(state0)
    if rslt    :
        # print(state0, steps)
        OK_cnt += 1
tCost  = time.perf_counter() - tStart
print('N={0}, OK_cnt={1}, tCost = {2:6.3f}(sec)'.format(N,OK_cnt,tCost))

运行结果：

N=8, OK_cnt=11897, tCost = 10.633(sec)