程序员的算法趣题Q46: 唯一的OX序列

1. 问题描述

当n=4时，像上述例子一样，根据统计结果重新排列O和X的位置，只有一种排列方式的O和X的排列一共有多少种呢？

2. 解题分析

因为是对O计数，可以用1代表O，用0代表x，这样原矩阵就转化为一个二进制矩阵。

以下采用暴力搜索法。

对N*N的所有可能的二进制矩阵进行N行和N列的，所得的2*N个值形成的排列{r1_sum, r2_sum, …,rN_sum, c1_sum, c2_sum, …, cN_sum }构成这个矩阵的signature。然后查询值对应唯一的矩阵的signature的个数。可以在遍历所有矩阵时，对各种signature出现的次数进行计数，最后计数值为1的signature个数即为所求结果。signature出现的次数可以用哈希表来存储，在python中就是dict()。

N*N的所有可能的二进制矩阵种类数为, N=4时为65536，随着N增大急剧增大。

算法流程如下所示：

3. 代码及测试

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Sep 29 07:51:03 2021

@author: chenxy
"""

import sys
import time
import datetime
import math
# import random
from   typing import List
# from   queue import Queue
from   collections import deque
import itertools as it
import numpy as np

N = 4
sigCount = dict()

tStart = time.perf_counter()
for node in it.product([0,1],repeat=N**2):
    a = np.array(node).reshape(N,N)
    # print(a)
    col_sum = np.sum(a,axis=0)
    row_sum = np.sum(a,axis=1)
    sig = tuple(np.concatenate((col_sum,row_sum)))
    if sig in sigCount:
        sigCount[sig] += 1
    else:
        sigCount[sig]  = 1

count = 0
for key in sigCount:
    if sigCount[key] == 1:
        count += 1
tCost = time.perf_counter() - tStart

print('N = {0}, count={1}, tCost = {2:6.3f}(sec)'.format(N,count,tCost))   

运行结果：N = 4, count=6902, tCost = 0.891(sec)

4. 后记

有两个可能改进方案：

1. 用二进制的形式来表示矩阵，以位操作的方式实现行和以及列和计算
2. 矩阵中任意一个子矩阵的4个顶点按对角线分为两组，一组为全0、另一组为全1的情况下，很明显可以构成出和它所对应相同的signature的不同矩阵，因此可以排除在搜索范围之外

以后回头来补上这些改进解。