此题是与圆有关的综合题，涉及知识点比较多，你能做对3问吗

各位朋友，大家好！“数学视窗”继续给大家分享一道与圆有关的综合题，这道题目有3个小问，3小题难度都不大，属于学生应该掌握的综合能力题。当然，对于成绩一般的学生来说，如果没有掌握相关知识点，将仍然无法顺利解答出来。此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、菱形的判定、相似三角形的判定和性质等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点．CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，交半圆O于点E．连接AC，BC．

（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；

（2）若AD=2，AB=3，求AC的长；

（3）若AE=2DE．试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）因为CD与⊙O相切于点C，所以连接OC，根据切线的性质即可得到OC⊥CD，根据同角的余角相等得到∠DAC=∠ACO，再根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠ACO，由等量代换即可得到∠BAC=∠DAC，由角平分线的定义即可证明结论；

（2）由∠BAC=∠DAC以及直角，可以证明△DAC∽△CAB，再根据相似三角形的性质得出线段比例式，代入数据计算，即得到答案；

（3）连接EC、OC，过点O作OF⊥AD于点F，根据垂径定理得到AF=FE=1/2AE，由AE=2DE进而证明AF=FE=DE，根据条件证明四边形OCEA为平行四边形，再由OA=OC和菱形的判定定理解答即可．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：如图1，连接OC，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD，（切线的性质）

∴∠ACD+∠ACO=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ACD+∠DAC=90°，（在Rt△ACD中）

∴∠DAC=∠ACO，（等量代换）

∵OA=OC，（两者都是圆的半径）

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠BAC=∠DAC，

即AC是∠DAB的角平分线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，（直径所对的圆周角）

∴∠ADC=∠ACB，

又∵∠CAD=∠BAC，

∴△DAC∽△CAB，

∴AD/AC=AC/AB，

∵AD=2，AB=3，

∴2/AC=AC/3，

解得AC=√6；

（3）解：如图2，连接EC、OC，过点O作OF⊥AD于点F，

则AF=FE=1/2AE，（垂径定理）

∵AE=2DE，

∴AF=FE=DE，

∵∠OCD=∠D=∠OFD=90°，（矩形的判定）

∴四边形OCDF为矩形，

∴OC=DF=DE+EF=AF+EF=AE，

又∵OC∥AE，

（一组对边平行且相等）

∴四边形OCEA为平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形OCEA为菱形.

故以O，A，E，C为顶点的四边形的形状为菱形.

（完毕）

这道题主要考查了圆的切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、矩形和菱形的判定、相似三角形的判定和性质等，题目具有较强的综合性，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及“圆的切线垂直于过切点的半径”是解题的关键。