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两个与无穷级数有关的悖论

时间:12-04来源:作者:点击数:

我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …。首先我们需要说明,这个无穷级数是收敛的。注意到,从1的后面开始,每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数,因此不管你加到哪儿,它的和始终不会超过1;另外,从1-1/2之后开始,每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数,因此无论加到什么位置,整个和始终大于1/2。这说明,这个级数是收敛的,并且它收敛到1/2和1之间的某个数(事实上这个数是ln(2) )。

好了,令这个无穷级数为S,现在对S进行这样的变换:

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …

= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …)

= 0

但刚才不是说了S是大于1/2的么?这怎么可能呢?

刚看到这个问题后,立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。同样令

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …①

①式两边同时乘以1/2,有

S/2 = 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/10 – …②

①式和②式相加有:

(3/2)*S = 1 + 1/3 – 1/2 + 1/5 + 1/7 – 1/4 + 1/9 + 1/11 – 1/6 + …③

比较①式和③式,它们的项竟是完全相同的,①中的所有项在③里都有,③里的每一个项也在①中出现过。你会惊奇地发现,仅仅是交换了项的顺序,整个无穷级数居然变成了原来的3/2倍!

这两个例子告诉我们,在无穷级数里,加法的交换律和结合率是不能乱用的。无穷级数的“和”不是一个普通的和,本质上是一个极限,是一系列“部分和”S1, S2, S3, …, Sn, …的极限,这显然已经超出了交换律和结合率的适用范围。最近我们高数正好学到无穷级数,我仔细看了一下一些无穷级数基本性质的叙述和证明。整个体系是相当严密的,每一步证明过程都充分利用到级数和极限的定义。

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