程序员的算法趣题Q22: 不缠绕的纸杯电话

1. 问题描述

用绳子连接纸杯制作“纸杯电话”——这应该勾起了很多人对理科实验的回忆。如果把绳子拉直，对着一边的纸杯讲话，声音就可以从另一边的纸杯传出。

假设有几个小朋友以相同间隔围成圆周，要结对用纸杯电话相互通话。如果绳子交叉，很有可能会缠绕起来，所以结对的原则是不能让绳子交叉。

举个例子，如果有 6 个小朋友，则只要如下图一样结对，

就可以顺利用纸杯电话通话。也就是说，6 个人的时候，有 5 种结对方式。

求：有 16个小朋友的时候，一共有多少种结对方式？

2. 解题分析

本题是一道动态规划问题。

以f(N)表示当有N个小朋友时的结对组合方式数可以推导出以下递推关系式：

递推过程以及笔算的结果如下所示：

3. 代码及测试

基于以上递推关系，代码就显得微不足道了。如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Sep  8 07:41:50 2021

@author: chenxy
"""

import sys
import time
import datetime
import math
# import random
from   typing import List
# from   queue import Queue
# from   collections import deque
import itertools as it

def paringGame(N:int)->int:
    memo = dict()
    memo[0] = 1
    
    for n in range(2,N+1,2):        
        nums = 0
        for m in range((n//2)):
            # print(n,m)
            nums += memo[2*m] * memo[n-2-2*m]
        memo[n] = nums
        
    return memo[N]

if __name__ == '__main__':        

    for N in range(16,30,4):            
        tStart = time.time()    
        nums = paringGame(N)        
        tCost  = time.time() - tStart
        print('Pairing combination numbers for {0} = {1}, tCost = {2:6.3f}(sec)'.format(N,nums,tCost))   

运行结果：